Question

【題目】劉徽計算圓周率是從正六邊形開始的，易知圓的內接正六邊形可分為六個全等的正三角形，每個三角形的邊長均為圓的半徑．此時圓內接正六邊形的周長為，如果將圓內接正六邊形的周長等同于圓的周長，可得圓周率為3．當正十二邊形內接于圓時，如果按照上述方法計算，可得圓周率為______．（參考數據：）

Answer 1

【答案】3.12

【解析】

連接OA1、OA2，根據正十二邊形的性質得到∠A1OA2=30°，△A1OA2是等腰三角形，作OM⊥A1A2于M，根據等腰三角形三線合一的性質得出∠A1OM=15°，A1A2=2A1M．設圓的半徑R，解直角△A1OM，求出A1M，進而得到正十二邊形的周長L，那么圓周率．

如圖，設半徑為R的圓內接正十二邊形的周長為L．

連接OA1、OA2，

∵十二邊形A1A2…A12是正十二邊形，

∴∠A1OA2=30°．

作OM⊥A1A2于M，又OA1=OA2，

∴∠A1OM=15°，A1A2=2A1M．

在直角△A1OM中，A1M=OA1sin∠A1OM=0.26R，

∴A1A2=2A1M=0.52R，

∴L=12A1A2=6.24R，

∴圓周率．

故答案為3.12．