Question

如圖，矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，動圓⊙O₁從點A出發以5cm/s的速度沿折線AD-DC-CB-BA的方向運動，動圓⊙O₂同時從點D出發以1cm/s的速度沿折線DC-CB-BA的方向運動，當O₁和O₂首次重合，則運動停止，設運動的時間是t s．
（1）當t是多少時，O₁和O₂首次重合．
（2）如果⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為1cm和2cm，那么t為何值時，⊙O₁和⊙O₂相切．

Answer 1

分析：（1）根據題意列出有關時間t的一元一次方程求解即可；
（2）注意分內切和外切兩種情況討論．

解答：解：（1）由題意得：（5-1）t=20
解得t=5
答：當t是5s時，O₁和O₂首次重合．

（2）由（1）得，O₁和O₂首次重合時，O₁和O₂運動到BC上，所以分以下兩種情況討論：
①若點O₁在AD上，O₂在DC上，則AO₁=5t，DO₁=20-5t，DO₂=t，
當⊙O₁、⊙O₂外切，在Rt△O₁DO₂中，
（20-5t）²+（t）²=3²，此方程無實數解，
當⊙O₁、⊙O₂內切，在Rt△O₁DO₂中，
（20-5t）²+（t）²=1²，此方程無實數解，
②若點O₁，O₂在DC上，
當⊙O₁、⊙O₂外切，（5-1）t=17，解得：t=

17

4

，
當⊙O₁、⊙O₂內切，（5-1）t=19，解得：t=

19

4

，
答：當t=

17

4

和

19

4

時，兩圓相切．

點評：本題主要考查圓與圓的位置關系、勾股定理及矩形的性質，解題的關鍵是正確的利用兩圓的位置關系得到半徑與弦心距之間的關系．