Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E是A邊上一點，且AE＝，點F是邊BC上的任意一點，把△BEF沿EF翻折，點B的對應點為G，連接AG，CG，則四邊形AGCD的面積的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，可得AC＝5，由AE＝可得點F是邊BC上的任意位置時，點C始終在AC的下方，設點G到AC的距離為h，要使四邊形AGCD的面積的最小，即h最小．所以點G在以點E為圓心，BE為半徑的圓上，且在矩形ABCD的內部．過點E作EH⊥AC，交圓E于點G，此時h最小．根據銳角三角函數先求得h的值，再分別求得三角形ACD和三角形ACG的面積即可得結論．

解：如圖，連接AC，

在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，

∠B＝∠D＝90°，

∴AC＝5，

∵AB＝3，AE＝，

∴點F是邊BC上的任意位置時，點G始終在AC的下方，

設點G到AC的距離為h，

S四邊形AGCD＝S△ACD+S△ACG

＝3×4+×5h，

＝6+h．

要使四邊形AGCD的面積的最小，即h最小．

∵點G在以點E為圓心，BE為半徑的圓上，且在矩形ABCD的內部．

過點E作EH⊥AC，交圓E于點G，此時h最小．

在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，

在Rt△AEH中，AE＝，

sin∠BAC＝，

解得EH＝AE＝，

EG＝BE＝AB﹣AE＝3﹣，

∴h＝EH﹣EG＝﹣（3﹣）＝﹣3．

∴S四邊形AGCD＝6+×（﹣3）

＝．

故答案為：．