Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+3 的圖象與x軸分別交于A(1,0)，B(3,0)兩點，與y軸交于點C

（1）求此二次函數解析式；

（2）點D為拋物線的頂點，試判斷△BCD的形狀，并說明理由；

（3）將直線BC向上平移t(t>0)個單位，平移后的直線與拋物線交于M，N兩點（點M在y軸的右側），當△AMN為直角三角形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△BCD為直角三角形，理由見解析；（3）當△AMN為直角三角形時，t的值為1或4．

【解析】

（1）根據點A、B的坐標，利用待定系數法即可求出二次函數解析式；

（2）利用配方法及二次函數圖象上點的坐標特征，可求出點C、D的坐標，利用兩點間的距離公式可求出CD、BD、BC的長，由勾股定理的逆定理可證出△BCD為直角三角形；

（3）根據點B、C的坐標，利用待定系數法可求出直線BC的解析式，進而可找出平移后直線的解析式，聯立兩函數解析式成方程組，通過解方程組可找出點M、N的坐標，利用兩點間的距離公式可求出AM2、AN2、MN2的值，分別令三個角為直角，利用勾股定理可得出關于t的無理方程，解之即可得出結論．

（1）將、代入，得：

，解得：，

此二次函數解析式為．

（2）為直角三角形，理由如下：

，

頂點的坐標為．

當時，，

點的坐標為．

點的坐標為，

，

，

．

，

，

為直角三角形．

（3）設直線的解析式為，

將，代入，得：

，解得：，

直線的解析式為，

將直線向上平移個單位得到的直線的解析式為．

聯立新直線與拋物線的解析式成方程組，得：，

解得：，，

點的坐標為，，點的坐標為，．

點的坐標為，

，，．

為直角三角形，

分三種情況考慮：

①當時，有，即，

整理，得：，

解得：，（不合題意，舍去）；

②當時，有，即，

整理，得：，

解得：，（不合題意，舍去）；

③當時，有，即，

整理，得：．

，

該方程無解（或解均為增解）．

綜上所述：當為直角三角形時，的值為1或4．