Question

【題目】如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于A（1，4），B（4，n）兩點．

（1）求反比例函數和一次函數的解析式；

（2）直接寫出當x＞0時，的解集．

（3）點P是x軸上的一動點，試確定點P并求出它的坐標，使PA+PB最小．

Answer 1

【答案】（1），y＝﹣x+5；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）P的坐標為（，0），見解析.

【解析】

（1）把A（1，4）代入y＝，求出m＝4，把B（4，n）代入y＝，求出n＝1，然后把把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，即可求出一次函數解析式；

（2）根據圖像解答即可；

（3）作B關于x軸的對稱點B′，連接AB′，交x軸于P，此時PA+PB＝AB′最小，然后用待定系數法求出直線AB′的解析式即可.

解：（1）把A（1，4）代入y＝，得：m＝4，

∴反比例函數的解析式為y＝；

把B（4，n）代入y＝，得：n＝1，

∴B（4，1），

把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，

得：，

解得：，

∴一次函數的解析式為y＝﹣x+5；

（2）根據圖象得當0＜x＜1或x＞4，一次函數y＝﹣x+5的圖象在反比例函數y＝的下方；

∴當x＞0時，kx+b＜的解集為0＜x＜1或x＞4；

（3）如圖，作B關于x軸的對稱點B′，連接AB′，交x軸于P，此時PA+PB＝AB′最小，

∵B（4，1），

∴B′（4，﹣1），

設直線AB′的解析式為y＝px+q，

∴，

解得，

∴直線AB′的解析式為，

令y＝0，得，

解得x＝，

∴點P的坐標為（，0）．