Question

【題目】已知反比例函數y= 的圖象經過點A（﹣ ，1）．
（1）試確定此反比例函數的解析式；
（2）點O是坐標原點，將線段OA繞O點順時針旋轉30°得到線段OB．判斷點B是否在此反比例函數的圖象上，并說明理由；
（3）已知點P（m， m+6）也在此反比例函數的圖象上（其中m＜0），過P點作x軸的垂線，交x軸于點M．若線段PM上存在一點Q，使得△OQM的面積是 ，設Q點的縱坐標為n，求n2﹣2 n+9的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得1= ，解得k=﹣ ，

∴反比例函數的解析式為y=﹣

（2）

解：過點A作x軸的垂線交x軸于點C．

在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，

∴OA= =2，∠AOC=30°，

∵將線段OA繞O點順時針旋轉30°得到線段OB，

∴∠AOB=30°，OB=OA=2，

∴∠BOC=60°．

過點B作x軸的垂線交x軸于點D．

在Rt△BOD中，BD=OBsin∠BOD= ，OD= OB=1，

∴B點坐標為（﹣1， ），

將x=﹣1代入y=﹣ 中，得y= ，

∴點B（﹣1， ）在反比例函數y=﹣ 的圖象上

（3）

解：由y=﹣ 得xy=﹣ ，

∵點P（m， m+6）在反比例函數y=﹣ 的圖象上，其中m＜0，

∴m（ m+6）=﹣ ，

∴m2+2 m+1=0，

∵PQ⊥x軸，∴Q點的坐標為（m，n）．

∵△OQM的面積是 ，

∴ OMQM= ，

∵m＜0，∴mn=﹣1，

∴m2n2+2 mn2+n2=0，

∴n2﹣2 n=﹣1，

∴n2﹣2 n+9=8．

【解析】（1）由于反比例函數y= 的圖象經過點A（﹣ ，1），運用待定系數法即可求出此反比例函數的解析式；（2）首先由點A的坐標，可求出OA的長度，∠AOC的大小，然后根據旋轉的性質得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出點B的坐標，進而判斷點B是否在此反比例函數的圖象上；（3）把點P（m， m+6）代入反比例函數的解析式，得到關于m的一元二次方程；根據題意，可得Q點的坐標為（m，n），再由△OQM的面積是 ，根據三角形的面積公式及m＜0，得出mn的值，最后將所求的代數式變形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．