Question

【題目】如圖1，已知拋物線過點．

（1）求拋物線的解析式及其頂點C的坐標；

（2）設點D是x軸上一點，當時，求點D的坐標；

（3）如圖2．拋物線與y軸交于點E，點P是該拋物線上位于第二象限的點，線段PA交BE于點M，交y軸于點N，和的面積分別為，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1），頂點C的坐標為-（-1,4）；（2）；（3）的最大值為.

【解析】

（1）利用待定系數法，將A，B的坐標代入即可求得二次函數的解析式；

（2）設拋物線對稱軸與x軸交于點H，在中，可求得，推出，可證，利用相似三角形的性質可求出AD的長度，進一步可求出點D的坐標，由對稱性可直接求出另一種情況；

（3）設代入，求出直線PA的解析式，求出點N的坐標，由，可推出，再用含a的代數式表示出來，最終可用函數的思想來求出其最大值．

解：（1）由題意把點代入，

得，，

解得，

∴此拋物線解析式為：，頂點C的坐標為

（2）∵拋物線頂點，

∴拋物線對稱軸為直線，

設拋物線對稱軸與x軸交于點H，

則，

在中，，

，

∴當時，

如圖1，當點D在對稱軸左側時，

，

，

，

，

，

當點D在對稱軸右側時，點D關于直線的對稱點D'的坐標為，

∴點D的坐標為或；

（3）設，

將代入，

得，，

解得，，

當時，，

如圖2，

，

由二次函數的性質知，當時，有最大值，

和的面積分別為m、n，

的最大值為．