Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣4，0)和點B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸是x=﹣1與x軸交于點D．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點P(m，n)為拋物線上一點，且﹣4＜m＜﹣1，過點P作PE∥x軸，交拋物線的對稱軸x=﹣1于點E，作PF⊥x軸于點F，得到矩形PEDF，求矩形PEDF周長的最大值；

（3）點Q為拋物線對稱軸x=﹣1上一點，是否存在點Q，使以點Q，B，C為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+8；（2）當m=﹣時，矩形PEDF的周長有最大值是；（3）存在，點Q (﹣1，)或(﹣1，﹣)或(﹣1，4+)或(﹣1，4﹣)．

【解析】

（1）根據拋物線對稱軸公式求b的值，然后將A點坐標代入解析式求c的值，從而求解；

（2）設P點坐標為(m，n)，由題意n═﹣m2﹣2m+8，從而表示出矩形周長的函數關系式，然后利用二次函數的性質求最值；

（3）設Q(﹣1，y)，結合圖形用勾股定理分別表示出QB2 =9+y2，QC2=1+(y﹣8)2，BC2=68，然后分∠QCB=90°，∠QBC=90°，∠BQC=90°三種情況列方程求解，從而確定點Q坐標．

解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸是x=﹣1，

∴﹣=﹣1，b=﹣2，

∴y=﹣x2﹣2x+c，

把A(﹣4，0)代入得：﹣16+8+c=0，∴c=8，

∴拋物線的函數表達式為：y=﹣x2﹣2x+8；

（2）∵點P(m，n)為拋物線上一點，且﹣4＜m＜﹣1，如圖1，

，

∴n═﹣m2﹣2m+8．

∵四邊形PEDF是矩形，

∴矩形PEDF的周長=2PE+2PF

=2(﹣1﹣m)+2(﹣m2﹣2m+8)

=﹣2m2﹣6m+14

=﹣2(m+)2+．

∵﹣2＜0，∴當m=﹣時，矩形PEDF的周長有最大值是；

（3）存在點Q，使以點Q，B，C為頂點的三角形是直角三角形．

∵點Q為拋物線對稱軸x=﹣1上一點，∴設Q(﹣1，y)，

由對稱得：B(2，0)．

∵C(0，8)，

∴QB2=(2+1)2+y2=9+y2，QC2=(﹣1)2+(y﹣8)2=1+(y﹣8)2，BC2=22+82=4+64=68，

分三種情況：

①當∠QCB=90°時，QB是斜邊，∴QB2=QC2+BC2，∴9+y2=1+(y﹣8)2+68

解得：y=，

∴Q(﹣1，)；

②當∠QBC=90°時，QC是斜邊．

∵QC2=BC2+QB2，∴1+(y﹣8)2=68+9+y2，

解得：y=﹣，

∴Q(﹣1，﹣)；

③當∠BQC=90°時，BC是斜邊．

∵BC2=BQ2+QC2，∴68=1+(y﹣8)2+9+y2，

解得：y=4±，∴Q(﹣1，4+)或(﹣1，4﹣)；

綜上，點Q的坐標是(﹣1，)或(﹣1，﹣)或(﹣1，4+)或(﹣1，4﹣)．