Question

【題目】設都是實數，且．我們規定：滿足不等式的實數的所有值的全體叫做閉區間、表示為．對于一個函數，如果它的自變量與函數值滿足：當時，有，我們就稱此函數是閉區間上的“閉函數”．

（1）反比例函數是閉區間上的“閉函數”嗎？請判斷并說明理由；

（2）若一次函數是閉區間上的“閉函數”，求此一次函數的解析式；

（3）若實數滿足.且，當二次函數是閉區間上的“閉函數”時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）是；理由見解析；（2）或；（3），．

【解析】

（1）根據反比例函數的單調區間進行判斷；
（2）根據新定義運算法則列出關于系數k、b的方程組，通過解該方程組即可求得系數k、b的值；
（3）y=x2-2x=（x2-4x+4）-2=（x-2）2-2，所以該二次函數的圖象開口方向向上，最小值是-2，且當x＜2時，y隨x的增大而減小；當x＞2時，y隨x的增大而增大．由于c＜d，且d＞2，所以分兩種情況進行討論：①c＜2＜d；②c≥2．

解：（1）是，由函數的圖象可知，
當1≤x≤2020時，函數值y隨著自變量x的增大而減小．
而當x=1時，y=2020；
x=2020，y=1，
故也有1≤y≤2020，
所以，函數是閉區間上[1，2020]的“閉函數”
（2）因為一次函數y=kx+b（k≠0）是閉區間[m，n]上的“閉函數”，
所以根據一次函數的圖象與性質，
必有：①當k＞0時，
解得k=1，b=0，
∴一次函數的解析式為y=x．
②當k＜0時， ，
解得k=-1，b=m+n
∴一次函數的解析式為y=-x+m+n故一次函數的解析式為y=x或y=-x+m+n
（3）由于函數y=x2-2x的圖象開口向上，且對稱軸為x=2，頂點為（2，-2）
由題意根據圖象，分以下兩種情況討論：
①當2≤c＜d時，必有x=c，時，y=c且x=d時，y=d即方程y=x2-2x=x必有兩個不等的實數根，解得x1=0，x2=6，而0，6分布在2的兩邊，這與2≤c＜d矛盾，舍去；
②當c＜2＜d時，必有函數值y的最小值為-2，由于此二次函數是閉區間[c，d]上的“閉函數”，故必有c=-2，從而有[c，d]=[-2，d]．
而當x=-2時，y=6即得點（-2，6），又點（-2，6）關于對稱軸x=2的對稱點為（6，6），由“閉函數”的定義可知必有x=d時，y=d，即d2-2d=d，解得d1=0，d2=6，故可得c=-2，d=6符合題意，
綜上所述，c=-2，d=6為所求的實數．