Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點M為拋物線y=﹣x2+2nx﹣n2+2n的頂點，過點（0，4）作x軸的平行線，交拋物線于點P、Q（點P在Q的左側），PQ=4．

（1）求拋物線的函數關系式，并寫出點P的坐標；
（2）小麗發現：將拋物線y=﹣x2+2nx﹣n2+2n繞著點P旋轉180°，所得新拋物線的頂點恰為坐標原點O，你認為正確嗎？請說明理由；
（3）如圖2，已知點A（1，0），以PA為邊作矩形PABC（點P、A、B、C按順時針的方向排列）， ．
寫出C點的坐標：C（ ， ）（坐標用含有t的代數式表示）；
（4）若點C在題（2）中旋轉后的新拋物線上，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2+2nx﹣n2+2n過點P，P點的縱坐標為4，

∴4=﹣x2+2nx﹣n2+2n

解得：x1=n+ ，x2=n﹣ ，

∵PQ=x1﹣x2=4，

∴2 =4，

解得：n=4，

∴拋物線的函數關系式為：y=﹣x2+8x﹣8，

∴4=﹣x2+8x﹣8，

解得：x=2或x=6，

∴P（2，4）．

（2）

解：正確；

∵P（2，4），PQ=4，

∴Q繞著點P旋轉180°后的對稱點為Q′（﹣2，4），

∴P與Q′正好關于y軸對稱，

∴所得新拋物線的對稱軸是y軸，

∵拋物線y=﹣x2+8x﹣8=﹣（x﹣4）2+8，

∴拋物線的頂點M（4，8），

∴頂點M到直線PQ的距離為4，

∴所得新拋物線頂點到直線PQ的距離為4，

∴所得新拋物線頂點應為坐標原點．

（3）﹣4t+2；4+t
（4）

解：由（1）可知，旋轉后的新拋物線是y=ax2，

∵新拋物線是y=ax2過P（2，4），

∴4=4a，

∴a=1，

∴旋轉后的新拋物線是y=x2，

∵C（﹣4t+2，4+t）在拋物線y=x2上，

∴4+t=（﹣4t+2）2，

解得：t=0（舍去）或t= ，

∴t= ．

【解析】解：（3）如圖2，過P作x軸的垂線，交x軸于M，過C作CN⊥MN于N，
∵ ，
∴ = ，
∵△APM∽△PCN，
∴ = = = ，
∵AM=2﹣1=1，PM=4，
∴PN=t，CN=4t，
∴MN=4+t，
∴C（﹣4t+2，4+t），
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．