Question

【題目】如圖，已知菱形ABCD的邊長2，∠A=60°，點E、F分別在邊AB、AD上，若將△AEF沿直線EF折疊，使得點A恰好落在CD邊的中點G處，則EF= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：延長CD，過點F作FM⊥CD于點M，連接GB、BD，作FH⊥AE交于點H，如圖所示： ∵∠A=60°，四邊形ABCD是菱形，
∴∠MDF=60°，
∴∠MFD=30°，
設MD=x，則DF=2x，FM= x，
∵DG=1，∴MG=x+1，
∴（x+1）2+（ x）2=（2﹣2x）2 ，
解得：x=0.3，
∴DF=0.6，AF=1.4，
∴AH= AF=0.7，FH=AFsin∠A=1.4× = ，
∵CD=BC，∠C=60°，
∴△DCB是等邊三角形，
∵G是CD的中點，
∴BG⊥CD，
∵BC=2，GC=1，
∴BG= ，
設BE=y，則GE=2﹣y，
∴（ ）2+y2=（2﹣y）2 ，
解得：y=0.25，
∴AE=1.75，
∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05，
∴EF= = = ．
故答案為： ．

延長CD，過點F作FM⊥CD于點M，連接GB、BD，作FH⊥AE交于點H，由菱形的性質和已知條件得出∠MFD=30°，設MD=x，則DF=2x，FM= x，得出MG=x+1，由勾股定理得出（x+1）2+（ x）2=（2﹣2x）2 ， 解方程得出DF=0.6，AF=1.4，求出AH= AF=0.7，FH= ，證明△DCB是等邊三角形，得出BG⊥CD，由勾股定理求出BG= ，設BE=y，則GE=2﹣y，由勾股定理得出（ ）2+y2=（2﹣y）2 ， 解方程求出y=0.25，得出AE、EH，再由勾股定理求出EF即可．