Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為1，點P在射線BC上（異于點B、C），直線AP與對角線BD及射線DC分別交于點F、Q
（1）若BP= ，求∠BAP的度數；
（2）若點P在線段BC上，過點F作FG⊥CD，垂足為G，當△FGC≌△QCP時，求PC的長；
（3）以PQ為直徑作⊙M． ①判斷FC和⊙M的位置關系，并說明理由；
②當直線BD與⊙M相切時，直接寫出PC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABP=90°，

∴tan∠BAP= = = ，

∵tan30°= ，

∴∠BAP=30°

（2）解：如圖1，設PC=x，則BP=1﹣x，

∵△FGC≌△QCP，

∴GC=PC=x，DG=1﹣x，

∵∠BDC=45°，∠FGD=90°，

∴△FGD是等腰直角三角形，

∴FG=DG=CQ=1﹣x，

∵AB∥DQ，

∴ ，

∴ ，

∴x=（1﹣x）2，

解得：x1= ＞1（舍去），x2= ，

∴PC=

（3）解：①如圖2，當點P在線段BC上時，FC與⊙M相切，理由是：

取PQ的中點M，以M為圓心，以PQ為直徑畫圓，連接CM，

∵∠PCQ=90°，PQ為直徑，

∴點C是圓M上，

∵△PCQ為直角三角形，

∴MC=PM，

∴∠MCP=∠MPC，

∵∠APB=∠MPC，

∴∠MCP=∠APB，

∵∠APB+∠BAP=90°，

∴∠MCP+∠BAP=90°，

∵AD=DC，∠ADB=∠CDB，FD=FD，

∴△ADF≌△CDF，

∴∠FAD=∠FCD，

∵∠BAP+∠FAD=∠BCF+∠FCD，

∴∠BAP=∠BCF，

∴∠MCP+∠BCF=90°，

∴FC⊥CM，

∴FC與⊙M相切；

如圖3，當點P在線段BC的延長線上時，FC與⊙M也相切，理由是：

取PQ的中點M，以M為圓心，以PQ為直徑畫圓，連接CM，

同理得∠AQD=∠MCQ，點C是圓M上，

∵AD=DC，∠BDA=∠CDB=45°，DF=DF，

∴△ADF≌△CDF，

∴∠FAD=∠FCD，

∵∠AQD+∠FAD=90°，

∴∠MCD+∠FCD=90°，

∴FC⊥MC，

∴FC與⊙M相切；

：②當點P在線段BC上時，如圖4，

設⊙M切BD于E，連接EM、MC，

∴∠MEF=∠MCF=90°，

∵ME=MC，MF=MF，

∴△MEF≌△MCF，

∴∠QFC=∠QFE，

∵∠BAP=∠Q=∠BCF，

設∠Q=x，則∠BAP=∠BCF=x，∠QFE=∠QFC=45°+x，∠DFC=45°+x，

∵∠QFE+∠QFC+∠DFC=180°，

∴3（45+x）=180，

x=15，

∴∠Q=15°，

∴∠BAP=15°，

作AP的中垂線HN，交AB于H，交AP于N，

∴AH=AP，

∴∠BHP=30°，

設BP=x，則HP=2x，HB= x，

∴2x+ x=1，

x=2﹣ ，

∴PC=BC﹣BP=1﹣（2﹣ ）= ﹣1；

當點P在點C的右側時（即在線段BC的延長線上），如圖5，

同理可得：PC= +1；

綜上所述：PC= ﹣1或 +1．

【解析】（1）在直角△ABP中，利用特殊角的三角函數值求∠BAP的度數；（2）設PC=x，根據全等和正方形性質得：QC=1﹣x，BP=1﹣x，由AB∥DQ得 ，代入列方程求出x的值，因為點P在線段BC上，所以x＜1，寫出符合條件的PC的長；（3）①如圖2，當點P在線段BC上時，FC與⊙M相切，只要證明FC⊥CM即可，先根據直角三角形斜邊上的中線得CM=PM，則∠MCP=∠MPC，從而可以得出∠MCP+∠BAP=90°，再證明△ADF≌△CDF， 得∠FAD=∠FCD，則∠BAP=∠BCF，所以得出∠MCP+∠BCF=90°，FC⊥CM；
如圖3，當點P在線段BC的延長線上時，FC與⊙M相切，同理可得∠MCD+∠FCD=90°，則FC⊥CM，FC與⊙M相切；②當點P在線段AB上時，如圖4，設⊙M切BD于E，連接EM、MC，設∠Q=x，根據平角BFD列方程求出x的值，作AP的中垂線HN，得∠BHP=30°，在Rt△BHP中求出BP的長，則得出PC= ﹣1；當點P在點C的右側時（即在線段BC的延長線上），如圖5，同理可得：PC= +1．