Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．

（1）如圖1，若直線AD與BC相交于M，過點B作AM的垂線，垂足為D，連接CD并延長BD至E，使得DE＝DC，過點E作EF⊥CD于F，證明：AD＝EF+BD．

（2）如圖2，若直線AD與CB的延長線相交于M，過點B作AM的垂線，垂足為D，連接CD并延長BD至E，使得DE＝DC，過點E作EF⊥CD交CD的延長線于F，探究：AD、EF、BD之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AD+BD＝EF，理由見解析．

【解析】

（1）將△ABD繞點A逆時針方向旋轉90°至△ACG，得到BD＝CG，延長GC交DE于點H，證明四邊形ADHG為正方形，則AD＝GH，證明△DEF≌△DCH，得到EF＝CH，則得出結論；

（2）作CN⊥AM，證明△DEF≌△CDN，得到EF＝DN，證明△ADB≌△CNA．得到BD＝AN．則AD+AN＝DN＝EF．

證明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴△ABC為等腰直角三角形，

如圖1，將△ABD繞點A逆時針方向旋轉90°至△ACG，

∴BD＝CG，

延長GC交DE于點H，

∵AD⊥BE，∠DAG＝∠AGC＝90°，AD＝AG，

∴四邊形ADHG為正方形，

∴∠DHC＝90°，

∴AD＝GH，

∵DE＝DC，EF⊥CD，∠EDF＝∠CDH，

∴△DEF≌△DCH（AAS），

∴EF＝CH，

∴AD＝GH＝GC+CH＝EF+BD；

（2）AD+BD＝EF，理由如下：

作CN⊥AM，

∵AD⊥BE，

∴∠EDF+∠ADC＝90°，

∵∠DCN+∠ADC＝90°，

∴∠EDF＝∠DCN，

∵∠F＝∠DNC＝90°，DE＝DC，

∴△DEF≌△CDN（AAS），

∴EF＝DN，

∵∠BAC＝90°，

∴∠DAB+∠NAC＝90°，

又∵∠DAB+∠DBA＝90°，

∴∠NAC＝∠DBA，

∵AB＝AC，

∴△ADB≌△CNA（AAS）．

∴BD＝AN．

∴AD+AN＝DN＝EF，

∴AD+BD＝EF．