Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點A，與軸交點C，拋物線過A，C兩點，與x軸交于另一點B．

（1）求拋物線的解析式．

（2）在直線AC上方的拋物線上有一動點E，連接BE，與直線AC相交于點F，當時，求sin∠EBA的值．

（3）點N是拋物線對稱軸上一點，在（2）的條件下，若點E位于對稱軸左側，在拋物線上是否存在一點M，使以M，N，E，B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）,（2）或 ,（3）存在；（2，﹣10）或（﹣4，﹣10）或（0，6）

【解析】

（1）先由直線解析式求出點A、C坐標，再將所求坐標代入二次函數解析式，求解可得；

（2）先求出B（1，0），設E（t，），作EH⊥x軸、FG⊥x軸，知EH∥FG，由EF=BF知，結合BH=1-t可得，據此知F（，），從而得出方程，解方程得出點E坐標，再進一步求解可得；

（3）分EB為平行四邊形的邊和EB為平行四邊形的對角線兩種情況，其中EB為平行四邊形的邊時再分點M在對稱軸右側和左側兩種情況分別求解可得．

解：（1）在y＝2x+6中，當x＝0時y＝6，當y＝0時x＝﹣3，

∴C（0，6）、A（﹣3，0），

∵拋物線的圖象經過A、C兩點，

，解得：，

∴拋物線的解析式為；

（2）令﹣2x2﹣4x+6＝0，

解得∴B（1，0），

設點E的橫坐標為t，∴E（t，），

如圖，過點E作EH⊥x軸于點H，過點F作FG⊥x軸于點G，則EH∥FG，

，

，

，

∴點F的橫坐標為，

直線AC的解析式為y2x6，

，

，

∴t2+3t+2＝0，解得

當t＝﹣2時，

當t＝﹣1時，

∴

當點E的坐標為（﹣2，6）時，在Rt△EBH中，EH＝6，BH＝3，

，

；

同理，當點E的坐標為（﹣1，8）時，

，

∴sin∠EBA的值為或；

（3）存在，且M的坐標為（2，﹣10）或（﹣4，﹣10）或（0，6）．

∵點N在對稱軸上，∴xN＝﹣1，

①當EB為平行四邊形的邊時，分兩種情況：

（Ⅰ）點M在對稱軸右側時，BN為對角線，

∵E，B（1，0），

∴由平移的性質得xM＝＝2，

當x＝2時，y＝

∴M（2，﹣10）；

（Ⅱ）點M在對稱軸左側時，BM為對角線，

∵xN＝﹣1，B（1，0），E（﹣2，6），

∴由平移的性質得xM＝＝﹣4，

當x＝﹣4時，y＝

∴M（﹣4，﹣10）；

②當EB為平行四邊形的對角線時，

∵B（1，0），E，xN＝，

∴由中點坐標公式得：1+（﹣2）＝﹣1+xM，

∴xM＝0，

當x＝0時，y＝6，

∴M（0，6）；

綜上所述，M的坐標為（2，﹣10）或（﹣4，﹣10）或（0，6）．