Question

【題目】如圖，是直徑，以為邊作等腰，且，與邊相交于點，過點作于點，并交的延長線于點．

（1）求證：是的切線．

（2）若，°，求由線段、及所圍成的圖形（陰影部分）面積．

（3）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）FD=．

【解析】

（1）證明切線需要連接圓心，由OA=OD，BA=BC，可以得到∠A=∠ODA=∠C，所以OD∥BC，由平行線性質可得，∠ODE=∠DEC=．

（2）根據∠F=，OD⊥DF，可判斷出△ODF是等腰直角三角形，則陰影部分面積=．

（3）先由角的等量轉換求出∠FDB=∠A，可得△FDA∽△FBD，由相似比及，即可解出FD的長．

（1）證明：連接OD，OA＝OD，∠OAD＝∠ODA，

又 AB＝CB，∠BAC＝∠BCA，

∠ODA＝∠BCA，OD // BC，

又 DE⊥BC，DE⊥OD，且DF經過⊙O的半徑OD的外端點，

DF是⊙O的切線．

（2）解： ∵∠F=45°，DF⊥OD

∴∠FOD=45°，

∴△ODF是等腰直接三角形，

∴，

∴．

∴

∴

（3）解：由（1）知， ∠FDB＝90°－∠ODB，

又 ∴∠FAD =90°－∠OBD，

∴OD =OB，

∴∠ODB =∠OBD，

∴∠FDB =∠FAD ．

在FDB和FAD中，

∴∠FDB =∠FAD，

∠BFD =∠DFA，

∴FDB∽∠FAD．

∴，

∴ ①，

又

∴

∴ ②．

把①代入②得

∴FD=3FB

又由勾股定理

∴AB=

∴OD=

由勾股定理：

即 ③

把①代入③，解得

FD=．