Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．

（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；

（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數根．第三邊BC的長為5，

①若△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，求k的值．

②若△ABC是等腰三角形，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①,②k的值為5或4．

【解析】

（1）先計算出△=1，然后根據判別式的意義即可得到結論；

（2）①先利用公式法求出方程的解為x1=k，x2=k+1，再利用勾股定理的逆定理AB2+AC2=BC2建立關于k的方程，解出k的值，然后滿足兩根為正根的k的值為所求；

②分類討論：AB=k，AC=k+1，當AB=BC或AC=BC時△ABC為等腰三角形，然后求出k的值．

（1）證明：∵b2－4ac＝（2k+1）2﹣4（k2+k）＝1＞0，

∴方程有兩個不相等的實數根；

（2）一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的解為x＝，即x1＝k，x2＝k+1，

①得；

②∵k＜k+1，

∴AB≠AC．

當AB＝k，AC＝k+1，且AB＝BC時，△ABC是等腰三角形，則k＝5；

當AB＝k，AC＝k+1，且AC＝BC時，△ABC是等腰三角形，則k+1＝5，解得k＝4，

綜合上述，k的值為5或4．