Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，且AB＝AC，D是上一點，AD與BC交于E，AF⊥DB，垂足為F．

（1）求證：∠ADB＝∠CDE；

（2）若AF＝DC＝6，AB＝10，求△DBC的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）18

【解析】

（1）根據AB=AC，可得出∠ABC=∠BCA，再根據圓內接四邊形的性質可得出∠CDE=∠ABC，從而得出答案；
（2）作AM⊥CD于點M，根據題意可得出BF，還可證明△ACM≌△ABF，從而可得出△DBC的面積．

（1）證明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠BCA＝∠ADB，

∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，

∴∠CDE＝∠ABC，

∴∠ADB＝∠CDE；

（2）解：作AM⊥CD于點M，

∵AB＝10，AF＝6，

∴BF＝8，

∵AD平分∠BDM，AM＝AF＝6，

∴△ACM≌△ABF，

∴CM＝BF＝8，

∴DF＝DM＝CM﹣CD＝2．

∴BD＝BF+DF＝10＝AB．

∴∠BAD＝∠ADB＝∠ADM，

∴AB∥CD，

∴S△DBC＝S△ADC＝CD×AM＝18．