Question

【題目】已知拋物線C：y=x2﹣2x+1的頂點為P，與y軸的交點為Q，點F（1， ）．
（1）求tan∠OPQ的值；
（2）將拋物線C向上平移得到拋物線C′，點Q平移后的對應點為Q′，且FQ′=OQ′．
①求拋物線C′的解析式；
②若點P關于直線Q′F的對稱點為K，射線FK與拋物線C′相交于點A，求點A的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2

∴頂點P（1，0），

∵當x=0時，y=1，

∴Q（0，1），

∴tan∠OPQ=1；

（2）解：①設拋物線C′的解析式為y=x2﹣2x+m，

∴Q′（0，m）其中m＞1，

∴OQ′=m，

∵F（1， ），

過F作FH⊥OQ′，如圖：

∴FH=1，Q′H=m﹣ ，

在Rt△FQ′H中，FQ′2=（m﹣ ）2+1=m2﹣m+ ，

∵FQ′=OQ′，

∴m2﹣m+ =m2，

∴m= ，

∴拋物線C′的解析式為y=x2﹣2x+ ，

②方法一：設點A（x0，y0），則y0=x02﹣2x0+ ①，

過點A作x軸的垂線，與直線Q′F相交于點N，則可設N（x0，n），

∴AN=y0﹣n，其中y0＞n，

連接FP，

∵F（1， ），P（1，0），

∴FP⊥x軸，

∴FP∥AN，

∴∠ANF=∠PFN，

連接PK，則直線Q′F是線段PK的垂直平分線，

∴FP=FK，有∠PFN=∠AFN，

∴∠ANF=∠AFN，則AF=AN，

∵A（x0，y0），F（1， ），

∴AF2=（x0﹣1）2+（y0﹣ ）2=x02﹣2x0+1+y02﹣y0+ =x02﹣2x0+ +y02﹣y0=（x02﹣2x0+ ）+y02﹣y0②

∵y0=x02﹣2x0+ ①，

將①右邊整體代換②得，AF2=（x02﹣2x0+ ）+y02﹣y0=y0+y02﹣y0=y02

∵y0＞0

∴AF=y0，

∴y0=y0﹣n，

∴n=0，

∴N（x0，0），

設直線Q′F的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得 ，

∴y=﹣ x+ ，

由點N在直線Q′F上，得，0=﹣ x0+ ，

∴x0= ，

將x0= 代入y0=x ﹣2x0+ ，

∴y0= ，

∴A（ ， ）．

方法二：由①有，Q'（0， ），F（1， ），P（1，0），

∴直線FQ'的解析式為y=﹣ x+ ①，

∵FQ'⊥PK，P（1，0），

∴直線PK的解析式為y= x﹣ ②

聯立①②得出，直線FQ'與PK的交點M坐標為（ ， ），

∵點P，K關于直線FQ'對稱，

∴K（ ， ），

∵F（1， ），

∴直線FK的解析式為y= x+ ③，

∵射線FK與拋物線C′：y=x2﹣2x+ ④相交于點A，

∴聯立③④得， 或 （舍），

∴A（ ， ）．

【解析】（1）配成頂點式，求出頂點坐標，利用正切定義，求出正切；（2）拋物線上下平移，解析式整體上加減常數m，由FQ′=OQ′，利用勾股定理構建方程，求出m;由"P關于直線Q′F的對稱點為K,“可利用軸對稱的性質，得出直線Q′F是線段PK的垂直平分線，以A的橫、縱坐標為未知數建立兩個方程y0=x02﹣2x0+ 5 4 ①，0=﹣ x0+ ,求出坐標.