Question

【題目】菱形ABCD中、∠BAD＝120°，點O為射線CA 上的動點，作射線OM與直線BC相交于點E，將射線OM繞點O逆時針旋轉60°，得到射線ON，射線ON與直線CD相交于點F．

（1）如圖①，點O與點A重合時，點E，F分別在線段BC，CD上，請直接寫出CE，CF，CA三條段段之間的數量關系；

（2）如圖②，點O在CA的延長線上，且OA＝AC，E，F分別在線段BC的延長線和線段CD的延長線上，請寫出CE，CF，CA三條線段之間的數量關系，并說明理由；

（3）點O在線段AC上，若AB＝6，BO＝2，當CF＝1時，請直接寫出BE的長．

Answer 1

【答案】（1）CA=CE+CF．（2）CF-CE=AC．（3）BE的值為3或5或1．

【解析】

（1）如圖①中，結論：CA=CE+CF．只要證明△ADF≌△ACE（SAS）即可解決問題；

（2）結論：CF-CE=AC．如圖②中，如圖作OG∥AD交CF于G，則△OGC是等邊三角形．只要證明△FOG≌△EOC（ASA）即可解決問題；

（3）分四種情形畫出圖形分別求解即可解決問題.

（1）如圖①中，結論：CA=CE+CF．

理由：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=120°

∴AB=AD=DC=BC，∠BAC=∠DAC=60°

∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，

∵∠DAC=∠EAF=60°，

∴∠DAF=∠CAE，

∵CA=AD，∠D=∠ACE=60°，

∴△ADF≌△ACE（SAS），

∴DF=CE，

∴CE+CF=CF+DF=CD=AC，

∴CA=CE+CF．

（2）結論：CF-CE=AC．

理由：如圖②中，如圖作OG∥AD交CF于G，則△OGC是等邊三角形．

∵∠GOC=∠FOE=60°，

∴∠FOG=∠EOC，

∵OG=OC，∠OGF=∠ACE=120°，

∴△FOG≌△EOC（ASA），

∴CE=FG，

∵OC=OG，CA=CD，

∴OA=DG，

∴CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+AC=AC，

（3）作BH⊥AC于H．∵AB=6，AH=CH=3，

∴BH=3，

如圖③-1中，當點O在線段AH上，點F在線段CD上，點E在線段BC上時．

∵OB=2，

∴OH==1，

∴OC=3+1=4，

由（1）可知：CO=CE+CF，

∵OC=4，CF=1，

∴CE=3，

∴BE=6-3=3．

如圖③-2中，當點O在線段AH上，點F在線段DC的延長線上，點E在線段BC上時．

由（2）可知：CE-CF=OC，

∴CE=4+1=5，

∴BE=1．

如圖③-3中，當點O在線段CH上，點F在線段CD上，點E在線段BC上時．

同法可證：OC=CE+CF，

∵OC=CH-OH=3-1=2，CF=1，

∴CE=1，

∴BE=6-1=5．

如圖③-4中，當點O在線段CH上，點F在線段DC的延長線上，點E在線段BC上時．

同法可知：CE-CF=OC，

∴CE=2+1=3，

∴BE=3，

綜上所述，滿足條件的BE的值為3或5或1．