Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，ABCD為長方形，其中點A、C坐標分別為（﹣4，2）、（1，﹣4），且AD∥x軸，交y軸于M點，AB交x軸于N．

（1）求B、D兩點坐標和長方形ABCD的面積；
（2）一動點P從A出發，以 個單位/秒的速度沿AB向B點運動，在P點運動過程中，連接MP、OP，請直接寫出∠AMP、∠MPO、∠PON之間的數量關系；
（3）是否存在某一時刻t，使三角形AMP的面積等于長方形面積的 ？若存在，求t的值并求此時點P的坐標；若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A、C坐標分別為（﹣4，2）、（1，﹣4），

而四邊形ABCD為矩形，

∴B（﹣4，﹣4），D（1，2）；

矩形ABCD的面積=（1+4）×（2+4）=30

（2）

解：當點P在線段AN上時，作PQ∥AM，如圖，

∵AM∥ON，

∴AM∥PQ∥ON，

∴∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，

∴∠QPM+∠QPO=∠AMP+∠PON，

即∠MPO=∠AMP+∠PON；

當點P在線段NB上時，同樣方法可得∠MPO=∠AMP﹣∠PON

（3）

解：存在．

∵AM=4，AP= t，

∴S△AMP= ×4× t=t，

∵三角形AMP的面積等于長方形面積的 ，

∴t=30× =10，

∴AP= ×10=5，

∵AN=2，

∴P點坐標為（﹣4，﹣3）．

【解析】（1）利用點A、C的坐標和矩形的性質易得B（﹣4，﹣4），D（1，2），然后根據矩形面積公式計算矩形ABCD的面積；（2）分類討論：當點P在線段AN上時，作PQ∥AM，如圖，利用平行線的性質易得∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，則∠MPO=∠AMP+∠PON；當點P在線段NB上時，同樣方法可得∠MPO=∠AMP﹣∠PON；（3）由于AM=4，AP= t，根據三角形面積公式得到S△AMP=t，再利用三角形AMP的面積等于長方形面積的 可計算出t=10，則AP=5，然后根據點的坐標的表示方法寫出P點坐標．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用三角形的面積的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握三角形的面積=1/2×底×高．