Question

【題目】已知：內接于，過點作的切線，交的延長線于點，連接．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，過點作于點，連接，交于點，，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點為上一點，過點的切線交的延長線于點，連接，交的延長線于點，連接，，點為上一點，連接，若，，，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）延長BO交于G，連接CG，根據切線的性質可得可證∠DBC＋∠CBG=90°，然后根據直徑所對的圓周角是直角可證∠CBG＋∠G=90°，再根據圓的內接四邊形的性質可得∠DAB=∠G，從而證出結論；

（2）在MB上截取一點H，使AM=MH，連接DH，根據垂直平分線性質可得DH=AD，再根據等邊對等角可得∠DHA=∠DAH，然后根據等邊對等角和三角形外角的性質證出∠ABC=∠C，可得AB=AC，再根據垂直平分線的判定可得AO垂直平分BC，從而證出結論；

（3）延長CF交BD于M，延長BO交CQ于G，連接OE，證出tan∠BGE=tan∠ECF=2，然后利用AAS證出△CFN≌△BON，可設CF=BO=r，ON=FN=a，則OE=r，根據銳角三角函數和相似三角形即可證出四邊形OBPE為正方形，利用r和a表示出各線段，最后根據，即可分別求出a和CF．

解：（1）延長BO交于G，連接CG

∵BD是的切線

∴∠OBD=90°

∴∠DBC＋∠CBG=90°

∵BG為直徑

∴∠BCG=90°

∴∠CBG＋∠G=90°

∴∠DBC=∠G

∵四邊形ABGC為的內接四邊形

∴∠DAB=∠G

∴∠DAB=∠DBC

（2）在MB上截取一點H，使AM=MH，連接DH

∴DM垂直平分AH

∴DH=AD

∴∠DHA=∠DAH

∵，

∴AD=BH

∴DH=BH

∴∠HDB=∠HBD

∴∠DHA=∠HDB＋∠HBD=2∠HBD

由（1）知∠DAB=∠DBC

∴∠DHA=∠DAB=∠DBC

∴∠DBC =2∠HBD

∵∠DBC =∠HBD＋∠ABC

∴∠HBD=∠ABC，∠DBC=2∠ABC

∴∠DAB=2∠ABC

∵∠DAB=∠ABC＋∠C

∴∠ABC=∠C

∴AB=AC

∴點A在BC的垂直平分線上

∵點O也在BC的垂直平分線上

∴AO垂直平分BC

∴

（3）延長CF交BD于M，延長BO交CQ于G，連接OE，

∵

∴∠DMC=90°

∵∠OBD=90°

∴∠DMC=∠OBD

∴CF∥OB

∴∠BGE=∠ECF，∠CFN=∠BON，

∴tan∠BGE=tan∠ECF=2

由（2）知OA垂直平分BC

∴∠CNF=∠BNO=90°，BN=CN

∴△CFN≌△BON

∴CF=BO，ON=FN，設CF=BO=r，ON=FN=a，則OE=r

∵

∴OQ=2a

∵CF∥OB

∴△QGO∽△QCF

∴

即

∴OG=

過點O作OE′⊥BG，交PE于E′

∴OE′=OG·tan∠BGE=r=OE

∴點E′與點E重合

∴∠EOG=90°

∴∠BOE=90°

∵PB和PE是圓O的切線

∴∠OBP=∠OEP=∠BOE=90°，OB=OE=r

∴四邊形OBPE為正方形

∴∠BOE=90°，PE=OB=r

∴∠BCE=∠BOE==45°

∴△NQC為等腰直角三角形

∴NC=NQ=3a，

∴BC=2NC=6a

在Rt△CFN中，CF=

∵

∴PQ∥BC

∴∠PQE=∠BCG

∵PE∥BG

∴∠PEQ=∠BGC

∴△PQE∽△BCG

∴

即

解得：PQ=4a

∵，

∴4a＋2a=

解得：a=

∴CF==10