Question

【題目】如圖，長方形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=BC=20，AB=8，動點P從點B出發，先以每秒2cm的速度沿B→A的方向運動，到達點A后再以每秒4cm的速度沿A→D的方向向終點D運動；動點Q從點B出發以每秒2cm的速度沿B→C的方向向終點C運動．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設點P、Q同時出發，運動時間為t秒．

(1)直接寫出BQ的長(用含t的代數式表示)

(2)求△BPQ的面積S(用含t的代數式表示)

(3)求當四邊形APCQ為平行四邊形t的值

(4)若點E為BC中點，直接寫出當△BEP為等腰三角形時t的值．

Answer 1

【答案】(1) BQ=2t(0≤t≤9) ；(2) S=2t2(0＜t≤4)， S=8t(4＜t≤9)； (3) t=6；(4) t=5或或或8

【解析】

(1)先計算得出點P和點Q走完全程所需時間，即可直接寫出BQ的長；
(2)分點P在AB上時和點P在AD上時，兩種情況討論，由三角形面積公式可求S與t的函數關系式；
(3)當點P在AD上，且AP=CQ時，四邊形APCQ是平行四邊形．由此構建方程即可解決問題．
(4)分三種情況討論，利用等腰三角形的性質可求解，

(1) 點P走完全程所需時間：(秒)，

點Q走完全程所需時間：(秒)，

∴點P和點Q運動時間最多為秒，

由題意，得：BQ()；

(2)當點P在AB上時，S=BQ×BP=×2t×2t=2t2(0＜t≤4)，

當點P在AD上時，S=BQ×8=8t(4＜t≤9)；

(3)當點P在AD上，且AP=CQ時，四邊形APCQ是平行四邊形，

依題意得：4(t-4)=20-2t，

解得：t=6．

∴t=6時，四邊形APCQ是平行四邊形；

(4)∵點E為BC中點，

∴BE=EC=10，

如圖，若BE=PE=10，過點E作EH⊥AD于H，

∵∠ABC=∠BAD=90°，EH⊥AD，

∴四邊形ABEH是矩形，

∴HE=AB=8，AH=BE=10=HD，

∴PH==6，

當點P在點H左邊時，

∴AP=4，

∴5(秒)，

當點P在點H右邊時，

∴AP=16

∴8(秒)，

如圖，若BP=PE，過點P作PM⊥BC于M

∴BM=ME=5，

∵∠ABC=∠BAD=90°，PM⊥BC，

∴四邊形ABMP是矩形，

∴AP=BM=5，

∴(秒)，

若BP=BE=10，

∴AP==6

∴ (秒)，

綜上所述：當t=5或或或8時，△BEP為等腰三角形．