Question

【題目】已知，四邊形ABCD是正方形，∠MAN＝90°，將∠MAN繞頂點A旋轉，旋轉角為∠DAM（0°＜∠DAM＜45°），AM交CD于點E，∠MAN的平分線與CB交于點G

（1）證明：如圖1，連接GE．求證：GE＝DE+BG；

（2）探究：如圖2，設AN交CB的延長線于點F，直線EF分別交AG，AB于點P，H．探究GH與AE的位置關系，并證明你的結論；

（3）應用：在圖2中，若正方形的邊長為6，BG＝2，求GH的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）GH∥AE，證明見解析；（3）

【解析】

（1）延長CB交AN于點F，通過證△DAE≌△BAF和△EAG≌△FAG從而證得結論；（2）首先證明△PAH≌△PFG ．則PH＝PG ，從而∠PGH＝45°. 又因為AP＝EP，∠APE＝90°． 所以∠PAE＝45°．證得∠PGH＝∠PAE，再根據平行線的判定得到GH∥AE；（3）設DE＝，則CG＝4，CE＝6－，GE＝GF＝2＋．在Rt△CEG中通過勾股定理求出x的值.再證△FBH∽△FCE，根據相似的性質即可求出BH的長，再在Rt△GBH中通過勾股定理求出GH的長.

（1）證明：延長CB交AN于點F，

∵ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠D＝∠ABF＝90°．

∵∠MAN＝90°，∴∠DAB＝∠MAN．

∴∠DAB－∠EAB＝∠MAN－∠EAB即：∠DAE＝∠BAF．

∴△DAE≌△BAF．∴AE＝AF．

又AG＝AG，∠EAG＝∠FAG．

∴△EAG≌△FAG ．∴GE＝GF．

而GF＝BG+BF＝BG+DE

∴GE＝BG+DE．

（2）解： GH∥AE，證明如下：

∵AE＝AF，AG平分∠EAF∴AG⊥EF，EP＝FP．

∴∠APH＝∠FPG＝∠APE＝90°，AP＝EF＝EP＝FP

∴∠PFG+∠PGF＝90又∵∠ABG＝90°，∴∠PAH+∠PGF＝90°．∴∠PAH＝∠PFG．

∴△PAH≌△PFG ．∴PH＝PG ．∴∠PGH＝45°．

∵AP＝EP，∠APE＝90°． ∴∠PAE＝45°．

∴∠PGH＝∠PAE．∴GH∥AE．

（3）連接GE，由（1）知GE＝GF，DE＝BF．

設DE＝，因為正方形邊長為6，BG＝2，

∴CG＝4，CE＝6－，GE＝GF＝2＋．

在Rt△CEG中，CE2+CG2＝GE2，

∴

解得，即：DE＝BF＝3 ．

∴CE＝6－3＝3，CF＝6+3＝9 ．

∵BH∥CE ∴△FBH∽△FCE ∴．

∴BH＝1

∵∠GBH＝90° ∴GH＝ ．