Question

【題目】如圖①，中，，點為邊上一點，于點，點為中點，的延長線交于點．

（1）求證；；

（2）若，求；

（3）如圖②，若，點為的中點，連接，求證；．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

（1）根據直角三角形斜邊中線的性質證明即可．

（2）先根據等腰三角形的性質得：∠HCB=∠HBC，∠HEB=∠HBE，由三角形外角的性質得：∠DHC=2∠HBC，∠DHE=2∠HBE，從而有∠CHE=2∠CBA，計算∠CBA=50°，根據平角的定義可得結論；

（3）如圖②，連接AH，先證明AE=ED=EH=DH=CH，得△DEH是等邊三角形，所以∠DHC=30°，∠AEH=150°，再證明AC=AH，根據等腰三角形三線合一可得AQ⊥CH，最后根據同位角相等，兩直線平行可得結論．

（1）證明：∵，

∴，

在和中，

，為中點，

∴，，

∴；

（2）解：如圖：

∵為中點，

∴，

∴

∴，，

在和中，

，，

∴，，

∴，

在中，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（3）證明；如圖，連接，

∵

∴，，，

∵，，

∴，

∴為等邊三角形，

∴，

∴，，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵為中點，

∴，

∴，

∴，

∴.