Question

【題目】拋物線經過A，B，C三點．

（1）求拋物線的解析式。

（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S．求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值．

（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標．

Answer 1

【答案】(1) y=x2+x-4；(2)S=-m2-4m, S最大值=4．(3) （-4，4），（4，-4），（-2+2，2-2），（-2-2，2+2）．

【解析】試題分析：（1）已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩點式，利用待定系數法求解即可；（2）利用拋物線的解析式表示出點M的縱坐標，從而得到點M到x軸的距離，然后根據三角形面積公式表示并整理即可得解，根據拋物線的性質求出第三象限內二次函數的最值，然后即可得解；（3）利用直線與拋物線的解析式表示出點P、Q的坐標，然后求出PQ的長度，再根據平行四邊形的對邊相等列出算式，然后解關于x的一元二次方程即可得解．

試題解析：

（1）設拋物線的解析式為y=a（x+4）（x-2），把B（0，-4）代入得，-4=a×（0+4）（0-2），解得a=，∴拋物線的解析式為：y=（x+4）（x-2），即y=x2+x-4；（2）過點M作MD⊥x軸于點D，設M點的坐標為（m，n），則AD=m+4，MD=-n，n=m2+m-4，∴S=S△AMD+S梯形DMBO-S△ABO

==-2n-2m-8=-2×（m2+m-4）-2m-8=-m2-4m=-（m+2）2+4（-4＜m＜0）；∴S最大值=4．（3）設P（x，x2+x-4）．①如圖1，當OB為邊時，根據平行四邊

形的性質知PQ∥OB，∴Q的橫坐標等于P的橫坐標，又∵直線的解析式為y=-x，則Q（x，-x）．由PQ=OB，得|-x-（x2+x-4）|=4，解得x=0，-4，-2±2．x=0不合題意，舍去．由此可得Q（-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2，2+2）；②如圖2，當BO為對角線時，知A與P應該重合，OP=4．四邊形PBQO為平行四邊形則BQ=OP=4，Q橫坐標為4，代入y=-x得出Q為（4，-4）．故滿足題意的Q點的坐標有四個，分別是（-4，4），（4，-4），（-2+2，2-2），（-2-2，2+2）．