Question

【題目】已知，在⊙O中，AB、CD是直徑，弦AE∥CD．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，直線EC與直線AB交于點F，點G在OD上，若FO＝FG，求證：△CFG是等腰三角形；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BD，若AE+CD＝BD，DG＝4，求線段FC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）FC＝4．

【解析】

（1）連接OE，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠EOC＝∠COB，從而可得出結(jié)果；

（2）連接BC，設(shè)∠CBO＝α，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及對頂角相等求出∠FGO＝∠FOG＝180°﹣2α，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠FEA＝∠OBC＝∠FCD＝α，在△FCG中利用三角形的內(nèi)角和可得出∠CFG＝∠FCG＝α，最后可得出FG=CG；

（3）連接AC，CB，EO，延長AB至M，使BM＝AE，連接CM，過點C作CH⊥AB于H，先利用SAS證明△AEC≌△MBC，得出AC＝CM，再由cos∠CAB＝＝＝，設(shè)AH＝3x，AC＝4x，進一步可得出．再由平行得出△AEF∽△OCF，

有，再根據(jù)線段間的等量關(guān)系可求出x的值，從而可得出AC，BC的長，進而得出EC的長，最后根據(jù)可得出結(jié)果．

（1）證明：連接OE，

∵AO＝EO，

∴∠OAE＝∠OEA，

∵AE∥CD，

∴∠OAE＝∠COB，∠OEA＝∠EOC，

∴∠EOC＝∠COB，

∴；

（2）證明：連接BC，設(shè)∠CBO＝α，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC＝α，

∴∠BOC＝180°﹣2α，

∴∠FOG＝180°﹣2α，

∵FO＝FG，

∴∠FGO＝∠FOG＝180°﹣2α，

∵四邊形AECB是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠FEA＝∠OBC=α，

∵AE∥CD，

∴∠FEA＝∠FCD＝α，

∴∠CFG＝180°﹣∠FCD﹣∠FGC＝α，

∴∠CFG＝∠FCG＝α，

∴FG＝CG，

∴△FCG是等腰三角形；

（3）解：如圖，連接AC，CB，EO，延長AB至M，使BM＝AE，連接CM，過點C作CH⊥AB于H，

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵∠AOC＝∠BOD，

∴AC＝BD，

∵AB＝CD，AE+CD＝BD，

∴AE+AB＝AC，

∴BM+AB＝AM＝AC，

∴，

∵，

∴∠EAC＝∠CAB，EC＝BC，

∵四邊形AECB是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠ABC+∠AEC＝180°，且∠ABC+∠CBM＝180°，

∴∠AEC＝∠CBM，且EC＝BC，AE＝BM，

∴△AEC≌△MBC（SAS），

∴AC＝CM，且CH⊥AB，

∴AH＝MH＝AM，

∵cos∠CAB＝＝＝，

∴設(shè)AH＝3x，AC＝4x，則AM＝6x，AB＝x，

∴BH＝AB﹣AH＝x，BM＝AE=HM﹣BH＝x，

∴，

∵AE∥CO，

∴△AEF∽△OCF，

∴，

設(shè)FA＝a，則FO＝4a，AO＝FO﹣FA＝3a，

∵FO＝FG＝CG＝4a，

∴OG＝CG﹣CO＝a，

∴DG＝DO﹣OG＝3a﹣a＝2a＝4，

∴a＝2，

∴AO＝CO＝6，

∴AB＝12，

∴x＝12，

∴x＝，

∴AC＝9，

∴BC＝＝＝3，

∴EC＝3，

∵，

∴FC＝4．