Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，若動點P從點C開始，沿C→A→B→C的路徑運動一周，且速度為每秒2cm，設運動時間為t秒，當t＝_____時，點P與△ABC的某兩個頂點構成等腰三角形．

Answer 1

【答案】4或或或或3或．

【解析】

分點P在邊AC和邊AB上討論: 當點P在邊AC上時和當點P在邊AB上時，進行計算即可得到答案．

∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，

∴AB＝＝＝5，

當點P在邊AC上時，當PA＝PB時，如圖1，

作AB邊上的高PE，則AE＝BE＝，

易證得△APE∽△ABC，

∴，即，

∴AP＝，

此時（4﹣）÷2＝（秒）；

當CP＝CB時，

∵CP＝3cm，此時t＝3÷2＝（秒）；

當點P在邊AB上時，

當AC＝AP，此時（4+4）÷2＝4（秒）；

當AP＝PC時，如圖2，

∴點P在AC的垂直平分線與AB的交點處，即在AB的中點，

則AP＝AB＝，此時（4+2.5）÷2＝（秒）

當CP＝CB時，如圖3，

作AB邊上的高CD，

∵AC×BC＝AB×CD．

∴CD＝＝，

在Rt△CDP中，根據勾股定理得，DP＝＝1.8，

∴BP＝2DP＝3.6，

∴AP＝1.4，

∴t＝（AC+AP）÷2＝（4+1.4）÷2＝（秒）

當BC＝BP時，

∴BP＝3cm，CA+AP＝4+5﹣3＝6（cm），

∴t＝6÷2＝3（秒）；

當PB＝PC，

∴點P在BC的垂直平分線與AB的交點處，即在AB的中點，

此時CA+AP＝4+2.5＝6.5（cm），

t＝6.5÷2＝（秒）；

綜上可知，當4或或或或3或時點P與△ABC的某兩個頂點構成等腰三角形，故答案為4或或或或3或．