Question

10．如圖，正方形ABCD的邊長為6，E，F分別是AB，BC邊上的點，且∠EDF=45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM．
（1）求證：EF=FM．
（2）當AE=2時，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）由旋轉可得DE=DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF為45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應邊相等可得出EF=MF；
（2）由第一問的全等得到AE=CM=2，正方形的邊長為6，用AB-AE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長，設EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=8-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為EF的長．

解答 （1）證明：∵△DAE逆時針旋轉90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三點共線，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DM}\\{∠EDF=∠MDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF；

（2）解：設EF=MF=x，
∵AE=CM=2，且BC=6，
∴BM=BC+CM=6+2=8，
∴BF=BM-MF=BM-EF=8-x，
∵EB=AB-AE=6-2=4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB²+BF²=EF²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
則EF=5．

點評 此題考查了正方形的性質、旋轉的性質、全等三角形的判定與性質以及勾股定理，利用了轉化及方程的思想，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．