Question

【題目】在一次數學社團活動中，指導老師給同學們提出了以下問題：

問題：有67張卡片疊在一起，按從上而下的順序先把第一張拿走，把第二張放到底層，然后把第三張拿走，再把第四張放到底層，如此進行下去，直至只剩最后一張卡片.問僅剩的這張卡片是原來的第幾張卡片？

由于卡片數量較多，指導老師建議同學們先對較少的張數進行嘗試，以便熟悉游戲規則并發現一些規律！

（1）請你試著在草稿紙上進行試驗，將試驗結果填寫在下表中：

試驗的卡片數量 （張）	2	4	8	9	10	11
剩下最后一張卡片是 原來卡片的第幾張

（2）根據試驗結果的規律，回答最初的67張卡片情形，請你給出答案并簡要說明理由.

Answer 1

【答案】（1）表格依次填2、4、8、2、4、6；（2）最初是67張卡片，最后剩下的是原來的第6張，理由見解析

【解析】

（1）根據題意依次確定每次拿走的是第幾張，即可得到剩下的一張是原來的第幾張；

（2）根據前面的結果可以得到最初64張卡片時最后剩下的是原來的第64張，依此推理得到最初67張卡片時的最后一張是原來的第幾張即可得到答案.

（1）根據題意：

當卡片是2張時，第一次拿走第1張，剩下的是第2張，

當卡片是4張時，第一次拿走第1張和第3張，第二次拿走第2張，剩下的是第4張，

當卡片是8張時，第一次拿走第1張、第3張、第5張、第7張，第二次拿走第2張、第6張，第三次拿走第4張，剩下的是第8張，

當卡片是9張時，第一次拿走第1張、第3張、第5張、第7張、第9張，第二次拿走第4張、第8張，第三次拿走第6張，剩下的是第2張，

當卡片是10張時，第一次拿走第1張、第3張、第5張、第7張、第9張，第二次拿走第2張、第6張、第10張，第三次拿走第8張，剩下的是第4張，

當卡片是11張時，第一次拿走第1張、第3張、第5張、第7張、第9張、第11張，第二次拿走第4張、第8張，第三次拿走第2張、第10張，剩下的是第6張，

故答案為：2、4、8、2、4、6；

（2）根據實驗結果進行規律總結，直角判斷若最初64張卡片，最后剩下的是第64張，最初是67張卡片，最后剩下的是原來的第6張，理由如下：

最初是67張卡片時，第一次拿走第1張、第3張、第5張、第7張、第9張、第11張、、第67張，

第二次拿走第4張、第8張、第12張、、第64張，

第三次拿走第2張、第10張、第18張、第26張、第34張、第42張、第50張、第58張、第66張，

第四次拿走第14張、第22張、第30張、第38張、第46張、第54張、第62張，

∴最后剩下的是原來的第6張.