Question

【題目】如圖，將矩形ABCD折疊，使點C與A點重合，折痕為EF．

（1）判斷四邊形AFCE的形狀，并說明理由．
（2）若AB=4，BC=8，求折痕EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：四邊形AFCE是菱形，

理由：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，

由折疊的性質可得：OA=OC，AE=CE，AF=CF，

在△OAE和△OCF中，

，

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴AE=CF，

∴AE=CE=CF=AF，

∴四邊形AFCE是菱形

（2）解：連接AC交EF于點O，

由勾股定理知AC=4 ，

又∵折疊矩形使C與A重合時有EF⊥AC，

則Rt△EOC∽Rt△ABC，

∴ = = ，

∴OE= OC= ×2 ，

故EF=2OE=2 ．

【解析】（1）抓住已知條件，將矩形ABCD折疊，使點C與A點重合，根據矩形的性質和折疊的性質得出OA=OC，AE=CE，AF=CF，∠EAO=∠FCO，，再證明△AEO≌△CFO，從而得出AE=CF，即可證明四邊形AFCE的四邊相等，即可得出結論。
（2）根據勾股定理求出AC的長，再證明Rt△EOC∽Rt△ABC,根據相似三角形的對應邊成比例，建立方程，求出OE的長，即可得到EF的長。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解菱形的判定方法的相關知識，掌握任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形，以及對矩形的性質的理解，了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．