Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線 過點A（6，0）和點B（3， ）．

（1）求拋物線y1的解析式；
（2）將拋物線y1沿x軸翻折得拋物線y2 ， 求拋物線y2的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線y2上是否存在點M，使△OAM與△AOB相似？如果存在，求出點M的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，得

解得 ，

∴拋物線y1的解析式為：

（2）解：將拋物線y1沿x軸翻折后，仍過點O（0，0），A（6，0），還過點B關于x軸的對稱點 ，

設拋物線y2的解析式為： ，

∴ ，

解得：

∴拋物線y2的解析式為

（3）解：過點B作BC⊥x軸于點C，

則有 ．

∴∠BOC=30°，∠OBC=60°．

∵OC=3，OA=6，

∴AC=3．

∴∠BAC=30°，∠OBA=120°．

∴OB=AB．

即△OBA是頂角為120°的等腰三角形．

分兩種情況：

①當點M在x軸下方時，△OAM就是△OAB'，此時點M的坐標為 ．

②當點M在x軸上方時，假設△OAM∽△OBA，

則有AM=OA=6，∠OAM=120°．

過點M作MD⊥x軸于點D，則∠MAD=60°．

∴ ，AD=3．∴OD=9．

而（9， ）滿足關系式 ，

即點M在拋物線 上．

根據對稱性可知，點 也滿足條件．

綜上所述，點M的坐標為 ， ， ．

【解析】（1）分別將A、B兩點的坐標代入拋物線 y 1 = a x 2 + b x，用待定系數法求解；（2）將拋物線y1沿x軸翻折后，仍過點O，A，還過點B關于x軸的對稱點 B '，設拋物線y2的解析式為： y 2 = m x 2 + n x ，用待定系數法即可求解；（3）①當點M在x軸下方時，△OAM就是△OAB，'②當點M在x軸上方時，假設△OAM∽△OBA，分別得出M點的坐標即可。