Question

如圖，已知⊙O的半徑為2，弦AB的長為2

3

，點(diǎn)C與點(diǎn)D分別是劣弧AB與優(yōu)弧ADB上的任一點(diǎn)（點(diǎn)C、D均不與A、B重合）．
（1）求∠ACB；
（2）求△ABD的最大面積．

Answer 1

（1）連接OA、OB，作OE⊥AB于E，
∵OA=OB，∴AE=BE，
Rt△AOE中，OA=2，AE=

3

，
所以sin∠AOE=

3

2

，
∴∠AOE=60°，（2分）
∠AOB=2∠AOE=120°，
又∠ADB=

1

2

∠AOB，
∴∠ADB=60°，（3分）
又四邊形ACBD為圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
從而有∠ACB=180°-∠ADB=120°；（5分）

（2）作DF⊥AB，垂足為F，則：S_△ABD=

1

2

×2

3

DF，（6分）
顯然，當(dāng)DF經(jīng)過圓心O時(shí)，DF取最大值，
從而S_△ABD取得最大值，
此時(shí)DF=DO+OF=2+2sin30°=3，s_△ABD=

1

2

×6

3

，
即△ABD的最大面積是3

3

．（7分）