Question

【題目】已知：如圖1，在⊙O中，直徑AB=4，CD=2，直線AD，BC相交于點E．

（1）∠E的度數為.

（2）如圖2，AB與CD交于點F，請補全圖形并求∠E的度數；

（3）如圖3，弦AB與弦CD不相交，求∠AEC的度數．

Answer 1

【答案】（1）60°（2）60°（3）60°

【解析】

（1）連結OD，OC，BD，根據已知得到△DOC為等邊三角形，由圓周角定理可得∠DBC=30°，根據直徑所對的圓周角是直角，求出∠E的度數即可；（2）根據已知可得△DOC為等邊三角形，根據圓周角定理可得∠DAC=30°，由圓內接四邊形性質可得∠EBD=∠DAC=30°，根據直徑所對的圓周角是直角，求出∠E的度數即可；（3）根據已知可得△DOC為等邊三角形，根據圓周角定理可知∠CAD=30°，根據直徑所對的圓周角是直角，求出∠AEC的度數即可；

（1）如圖1，連結OD，OC，BD，

∵OD=OC=CD=2

∴△DOC為等邊三角形，

∴∠DOC=60°

∴∠DBC=30°

∴∠EBD=30°

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°

∴∠E=90°﹣30°=60°.

（2）①如圖2，直線AD，CB交于點E，連結OD，OC，AC，．

∵OD=OC=CD=2，

∴△DOC為等邊三角形，

∴∠DOC=60°，

∴∠DAC=30°，

∵∠EBD是圓內接四邊形ACBD的外角，

∴∠EBD=30°，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠E=90°﹣30°=60°，

（3）如圖3，連結OD，OC，AC，

∵OD=OC=CD=2，

∴△DOC為等邊三角形，

∴∠DOC=60°，

∴∠CAD=30°，

∵AB是直徑，∠ACB是AB所對的圓周角，

∴∠ACB=90°，

∴∠AEC=90°-30°=60°．