Question

【題目】如圖，已知正方形的邊長為，點從點出發，以的速度沿著折線運動，到達點時停止運動；點從點出發，也以的速度沿著折線運動，到達點時停止運動.點、分別從點、同時出發，設運動時間為.

（1）當為何值時，、兩點間的距離為.

（2）連接、交與點，

①在整個運動過程中，的最小值為______；

②當時，此時的值為______.

Answer 1

【答案】（1）為，，，時，、兩點間的距離為；（2）①；②2或8.

【解析】

（1）分情況討論確定E，F的位置，根據勾股定理列式求解即可；

（2）①根據題意分析出點M的運動軌跡是圓，然后即可確定答案；②求證△DAM≌△CDN，△DAE∽△DMA，分情況討論即可.

（1）當時，由題可知，，

∴，

中，，

∴，

解得：，，

當時，由題可知，，

∴，

中，，

∴，

解得：，，

綜上所述：為，，，時，、兩點間的距離為.

（2）①

∵E，F兩點速度相同，

∴AE=AF

又∵正方形ABCD中，AD=BA，∠DAB=∠B=90°，

∴△DAE≌△BAF（SAS）

∴∠ADE=∠BAF

∵∠BAF+∠DAF=90°

∴∠ADE+∠DAF=90°

∴∠DMA=90°

∴點M在以O為圓心，AD為直徑的圓上，

連接OC交圓O于點，此時CM長度最短，

在Rt△DOC中，CO=

∴CM的最小值為.

②2或8

如下圖，過點C作CN⊥DE

由①可知∠DMA=90°

∵∠ADM+∠CDN=90°，∠ADM+∠DAM=90°

∴∠CDN=∠DAM

在△ADM和△CDN中

∴△ADM≌△CDN（AAS）

∴DN=AM

又∵CM=CD=4且CN⊥DE

∴DM=2DN=2AM，即

∵∠DMA=90°

∴∠DAE=∠AMD，∠ADM=∠EDA

∴△DAE∽△DMA

∴

∴t=AE=2

當點E到達點C，點F到達點D，此時AM=4，此時t=8

綜上所述，當CM=4cm時，此時t的值為2或8.