Question

【題目】四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似但不全等，我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”.

（1）如圖1，在四邊形中，，，，對角線平分.求證：是四邊形的“相似對角線”；

（2）如圖2，已知格點，請你在正方形網格中畫出所有的格點四邊形，使四邊形是以為“相似對角線”的四邊形；（注：頂點在小正方形頂點處的多邊形稱為格點多邊形）

（3）如圖3，四邊形中，點在射線：上，點在軸正半軸上，對角線平分，連接.若是四邊形的“相似對角線”，，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）見解析；（3） .

【解析】

（1）由BD平分∠ABC可得∠ABD=∠DBC=50，則∠BDC+∠A=130°，根據∠ADC=130°可得∠ADB=∠C，即可求解；
（2）如圖所示，根據兩個三角形夾角相等，夾邊成比例，則三角形相似，即可求解；
（3）利用△AOC∽△COB，則OAOB=OC2，而S△AOB= ×OB×yA=×OB×OAsin60°=6，即可求解．

解：（1）∵對角線平分，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴是四邊形的“相似對角線”；

（2）如下圖所示：
∵∠ABC=∠ACD1=90°，

，

∴△ABC∽△ACD1，
故：以AC為“相似對角線”的四邊形有：ABCD1，
同理可得：以AC為“相似對角線”的四邊形還有：ABCD2、ABCD3、ABCD4；

（3）如圖，作于，于，

∵點在射線：上，

∴，即，

∵對角線平分，

∴，

∵是四邊形的“相似對角線”，

∴與相似且不全等，

∴，

∴，

∴，即，

∵，

∴，

∴，，

∴點的坐標為.

故答案為：（1）證明見解析；（2）見解析；（3） .