Question

【題目】問題情境：

在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數學活動．如圖1，將：矩形紙片ABCD沿對角線AC剪開，得到△ABC和△ACD．并且量得AB=2cm，AC=4cm．

操作發現：

（1）將圖1中的△ACD以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉，使，得到如圖2所示的△，過點C作的平行線，與的延長線交于點E，則四邊形的形狀是 ．

（2）創新小組將圖1中的△ACD以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉，使B、A、D三點在同一條直線上，得到如圖3所示的△，連接，取的中點F，連接AF并延長至點G，使FG=AF，連接CG、，得到四邊形，發現它是正方形，請你證明這個結論．

實踐探究：

（3）縝密小組在創新小組發現結論的基礎上，進行如下操作：將△ABC沿著BD方向平移，使點B與點A重合，此時A點平移至點，與相交于點H，如圖4所示，連接，試求的值．

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）先判斷出∠ACD=∠BAC，進而判斷出∠BAC=∠AC'D，進而判斷出∠CAC'=∠AC'D，即可的結論；
（2）先根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，再由旋轉可知，AC=AC'，得出平行四邊形是菱形，由旋轉可知對應角相等，得出∠CAC'是直角，即可得出結論；
（3）先判斷出∠ACB=30°，進而求出BH，AH，即可求出CH，C'H，即可得出結論．

（1）在如圖1中，

是矩形的對角線，

，，

，

在如圖2中，由旋轉知，，，

，

，

，

，

，

四邊形是平行四邊形，

，

是菱形，

故答案為：菱形；

（2）在圖1中，四邊形是矩形，

，

，，

在圖3中，由旋轉知，，

，

，

點，，在同一條直線上，

，

由旋轉知，，

點是的中點，

，，

，

四邊形是平行四邊形，

，

是菱形，

，

菱形是正方形；

（3）在中，，，

，，，

，

由（2）結合平移知，，

在中，，

，

，

在中，，

，

在中，．