Question

【題目】問題背景：

（1）如圖1，在△ABC和△CDE中，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，請在圖中作出與△BCD相似的三角形．

遷移應用：

（2）如圖2，E為正方形ABCD內一點，∠DEB＝135°，在DE上取一點G，使得BE＝EG，延長BE交AG于點F，求AF：FG的值．

聯系拓展：

（3）矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P、E分別是AC、BC上的點，且四邊形PEFD為矩形，若△PCD是等腰三角形時，直接寫出CF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）CF＝3或或．

【解析】

(1)如圖1中，連接AE．則△ACE∽△BCD．先證明△BAC∽△DEC，推出，解決問題；

(2)如圖2中，過D作DM⊥BF交BF延長線于M，連AM，BD，想辦法證明△AMF～△EGF，可得．

(3)作DJ⊥AC于J，證明△ADP∽△CDF，推出=，可得CF===PA，分三種情形分別求出PA即可解決問題．

(1)如圖1中，連接AE．則△ACE∽△BCD．

理由：∵在△ABC和△CDE中，AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，

∴=，

∴△BAC∽△DEC，

∴，

∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，

∴∠ACB=∠ABC=∠DCE=∠EDC，

∴∠ACE=∠BCD，

∴△ACE∽△BCD；

(2)如圖2中，過D作DM⊥BF交BF延長線于M，連AM，BD，

∵∠BED=135°，

∴∠MED=45°

∴△MED為等腰直角三角形，

由正方形ABCD可知△ADB為等腰直角三角形，

∴，即，

又∠MDE=∠ADB=45°，

∴∠MDA=∠EDB，

∴△AMD～△BED，

∴∠AMD=∠BED=135°，且，

∴∠AMF=∠FEG=45°，

∴AM∥ED，

∴△AMF～△EGF，

；

(3)如圖3中，作DJ⊥AC于J．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC=8，AB=CD=6，

∴AC===10，

∵S△ADC=ADDC=ACDJ，

∴DJ==，

∵四邊形DPEF是矩形，

∴∠ECD=∠EFD=90°，

∴E，C，F，D四點共圓，

∵E，F，D，P四點共圓，

∴E，C，F，D，P五點共圓，

∴∠PCF=∠PEF=90°，

∴∠BCD=∠PCF=90°，

∴∠ACB=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∴∠DAP=∠DCF，

∵∠ADC=∠PDF=90°，

∴∠ADP=∠CDF，

∴△ADP∽△CDF，

∴=，

∴CF===PA，

①當DP=DC時，

∵DJ⊥PC，

∴CJ=PJ===，

∴PA=10﹣=，

∴CF=×=；

②當CD=CP=6時，PA=10﹣6=4，CF=×4=3．

③當PD=PC時，PA=PC=PD=5，

∴CF=×5=，

綜上所述，CF=3或或