Question

【題目】已知菱形中，為對角線，點是的中點，連接交于點，的垂直平分線交于點，交于點，連接.

（1）若，求證：四邊形是正方形

（2）已知，求的長；

（3）若固定，設，將繞著點從點開始逆時針旋轉過程中，菱形也隨之變化，且滿足，若是直角三角形，直接寫出的值；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3） ．

【解析】

（1）由菱形的性質可得，由垂直平分線的性質可得，，由等邊對等角可得：，等量代換可得，由平行線的判定及性質可得，＝90°，繼而由正方形的判定求證結論；

（2）由菱形的性質可知，，由相似三角形的判定可得，繼而由相似三角形對應邊成比例的性質可得：，根據題（1）可知，進而可證△BGE∽△BAD，由此可知，代入數據，求出，最后由線段垂直平分線的性質求解；

（3）根據題意，從旋轉過程中可看出，線段在旋轉360°的過程中，由0°增大到90°再減小到0°再增加到90°再到0°，據此結合圖形即可求解．

解：（1）∵四邊形是菱形

∴，∴，∵的垂直平分線交于點

∴，∴，∴

∴∴∵，

∴∵四邊形是菱形

∴四邊形是正方形

（2）∵四邊形是菱形

∴，∴；

∴∴

∵∴△BGE∽△BAD，∴

∵∴

∵的垂直平分線交于點∴．

（3）若是直角三角形時的值可能是60°，90°，270°或300°

∵從旋轉過程中可看出，線段在旋轉360°的過程中，由0°增大到90°再減小到0°再增加到90°再到0°

∴第一次出現是直角三角形時，如圖1所示，此時為的一半，可得旋轉角度即為60°；第二次出現是直角三角形時，如圖2所示，此時（1）中已證明旋轉角度即為90°；當繼續旋轉時到達的下方，同理可得旋轉角度為270°和300°．