Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系內，A，B為x軸上兩點，以AB為直徑的⊙M交y軸于C，D兩點，C為的中點，弦AE交y軸于點F，且點A的坐標為(﹣2，0)，CD＝8．

（1）求⊙M的半徑；

（2）動點P在⊙M的圓周上運動．①如圖1，當EP平分∠AEB時，求PN×EP的值；②如圖2，過點D作⊙M的切線交x軸于點Q，當點P與點A，B不重合時，是否為定值？若是，請求出其值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ⊙M的半徑是5；（2）①PN·PE=50; ②是定值，理由見詳解.

【解析】

（1）由垂徑定理可知OD＝4，連接MD在Rt△OMD中用勾股定理即可求出r．

（2）①連接AP、BP．當EP平分∠AEB時，可得△BAP為等腰直角三角形，求出AP＝，再證△APN∽△EPA得到PN·PE= PA2，進而可得PN×EP的值；

②是定值.由DQ與⊙M于D點，可得△QMD∽△MDO，又MD＝MP，可得，進而證明△QMP∽△PMQ，即可由相似三角形性質求解．

（1）如圖1：

∵直徑AB⊥CD，CD＝8，

∴OD＝CD＝4，

連接MD設MD＝MA＝r，

在Rt△OMD中．由OM2+OD2＝MD2，

得（r﹣2）2+42＝r2．解得r＝5，

∴⊙M的半徑是5；

（2）①如圖1（2）

∵．

∴，

∴AE＝CD＝8，

∵AB是直徑，

∴∠AEB＝90°，

連接AP，BP,

當EP平分∠AEB時，∠BAP＝∠BEP＝∠AEP＝∠ABP＝45°，

△BAP為等腰直角三角形，

∵AB＝10，

∴AP＝，

∵∠PAN=∠PEB=∠AEP, ∠APN=∠EPA,

∴△APN∽△EPA,

∴,

∴PN·PE= PA2=()2=50;

②是定值.

理由如圖2：連接PM、DM，

∵DQ與⊙M于D點，

∴∠MDQ＝90°＝∠DOM，

∴∠QMD＝∠DMO，

∴△QMD∽△MDO，

∴，

又∵MD＝MP，

∴，

又∵∠OMP＝∠PMQ，

∴△QMP∽△PMQ，

∴．