Question

【題目】如圖，在正方形中，對角線，相較于點，以為邊向外作等邊，連接，交于．

（1）如圖1，若，求的長

（2）如圖2，點為的延長線上一點，連接，連接且平分．求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析

【解析】

（1）根據正方形性質和等邊三角形性質，先求出OC的長度和∠OCF的度數，然后利用勾股定理，求出OF的長度，即可求出DF.

（2）過作于，于，連接，根據正方形的性質和全等三角形的判定和性質就進行證明，得到邊的關系和角的關系，得到，再由30度直角三角形的性質，通過等量代換，即可證明結論.

解：（1）如圖，

在等邊中，，，

又∵四邊形是正方形，

，DC=BC，AC=BD，

∵，

∴，

∴，

，

．

在中，設，則．

∴，

；

（2）過作于，于，連接．

垂直平分．

平分

，

在和中：

在和中：

．

，

，，

又

，

，

又

即．