Question

【題目】如圖，已知A是雙曲線y= （k＞0）在第一象限內的一點，O為坐標原點，直線OA交雙曲線于另一點C，當OA在第一象限的角平分線上時，將OA向上平移 個單位后，與雙曲線在第一象限交于點M，交y軸于點N，若 =2，

（1）求直線MN的解析式；
（2）求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OA在第一象限的角平分線上，

∴直線OA的解析式為y=x，

∴將OA向上平移 個單位后，N（0， ），

可設直線MN的解析式為y=x+b，

把N（0， ）代入，可得b= ，

∴直線MN的解析式為y=x+

（2）解：如圖所示，過A作AB⊥y軸于B，過M作MD⊥y軸于D，則∠MDN=∠ABO=90°，

由平移可得，∠MND=∠AOB=45°，

∴△MDN∽△ABO，

∴ = =2，

設A（a，a），則AB=a，

∴MD= a=DN，

∴DO= a+ ，

∴M（ a， a+ ），

∵雙曲線經過點A，M，

∴k=a×a= a×（ a+ ），

解得a=1，

∴k=1．

【解析】（1）第一三象限角平分線為y=x,向上平移為y=x+b,可求出N點坐標，代入y=x+b，即可求出;（2）通過作垂線構造相似三角形，即△MDN∽△ABO，把A、M坐標代入解析式即可求出a,進而求出k.