Question

【題目】已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，線段AB的兩個端點A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點C為線段AB的中點，現將線段BA繞點B按順時針方向旋轉90°得到線段BD，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點D．
（1）如圖1，若該拋物線經過原點O，且a=﹣ ．
①求點D的坐標及該拋物線的解析式；
②連結CD，問：在拋物線上是否存在點P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由；

（2）如圖2，若該拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點E（1，1），點Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點的個數是3個，請直接寫出a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①過點D作DF⊥x軸于點F，如圖1，

∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠DBF=∠BAO，

又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，

∴△AOB≌△BFD（AAS）

∴DF=BO=1，BF=AO=2，

∴D的坐標是（3，1），

根據題意，得a=﹣ ，c=0，且a×32+b×3+c=1，

∴b= ，

∴該拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x；

②∵點A（0，2），B（1，0），點C為線段AB的中點，

∴C（ ，1），

∵C、D兩點的縱坐標都為1，

∴CD∥x軸，

∴∠BCD=∠ABO，

∴∠BAO與∠BCD互余，

要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，

設P的坐標為（x，﹣ x2+ x），

（Ⅰ）當P在x軸的上方時，過P作PG⊥x軸于點G，如圖2，

則tan∠POB=tan∠BAO，即 = ，

∴ = ，解得x1=0（舍去），x2= ，

∴﹣ x2+ x= ，

∴P點的坐標為（ ， ）；

（Ⅱ）當P在x軸的下方時，過P作PG⊥x軸于點G，如圖3

則tan∠POB=tan∠BAO，即 = ，

∴ = ，解得x1=0（舍去），x2= ，

∴﹣ x2+ x=﹣ ，

∴P點的坐標為（ ，﹣ ）；

綜上，在拋物線上是否存在點P（ ， ）或（ ，﹣ ），使得∠POB與∠BCD互余．

（2）解：如圖3，

∵D（3，1），E（1，1），

拋物線y=ax2+bx+c過點E、D，代入可得 ，解得 ，

所以y=ax2﹣4ax+3a+1．

分兩種情況：

①當拋物線y=ax2+bx+c開口向下時，若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點的個數不可能是3個

②當拋物線y=ax2+bx+c開口向上時，

（i）當點Q在x軸的上方時，直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c必有兩個交點，符合條件的點Q必定有2個；

（ii）當點Q在x軸的下方時，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c只有1個交點，才能使符合條件的點Q共3個．

根據（2）可知，要使得∠QOB與∠BCD互余，則必須∠QOB=∠BAO，

∴tan∠QOB=tan∠BAO= = ，此時直線OQ的解析式為y=﹣ x，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有一個交點，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ x有兩個相等的實數根，所以△=（﹣4a+ ）2﹣4a（3a+1）=0，即4a2﹣8a+ =0，解得a= ，

∵拋物線的頂點在x軸下方

∴ ＜0，

∴a＞1，

∴a= 舍去

綜上所述，a的值為a= ．

【解析】（1）通過作過點D作垂線構造全等直角三角形，即△AOB≌△BFD，求出D坐標代入拋物線解析式即可；（2）要使∠POB與∠BCD互余，須∠POB=∠BAO，可分類討論：P在x軸的上方時或P在x軸的下方時；根據三角函數列出比例式，求出結果；（3）須分類討論，分兩種情況：當拋物線y=ax2+bx+c開口向下或當拋物線y=ax2+bx+c開口向上；數形結合，要使得∠QOB與∠BCD互余，則必須∠QOB=∠BAO，tan∠QOB=tan∠BAO= = ,求出a值，進行驗證.