Question

【題目】如圖所示，M、N、P在第二象限，橫坐標分別是﹣4、﹣2、﹣1，雙曲線y＝過M、N、P三點，且MN＝NP．

（1）求雙曲線的解析式；

（2）過P點的直線l交x軸于A，交y軸于B，且PA＝4AB，且交y＝于另一點Q，求Q點坐標；

（3）以PN為邊（順時針方向）作正方形PNEF，平移正方形使N落在x軸上，點P、E對應的點P′、E'正好落在反比例函數y＝上，求F對應點F′的坐標．

Answer 1

【答案】（1）雙曲線的解析式為y＝﹣；（2）Q（，﹣5）；（3）點F′的坐標為（﹣5，3）．

【解析】

（1）先表示出點M，N，P的坐標，進而得出MN2，NP2，建立方程求解，即可得出結論；

（2）分點A在x軸的正半軸或負半軸上，判斷出△AOB∽∠PQB，得出比例式，即可得出結論；

（3）先確定出點E，F坐標，設出點N'的坐標，進而得出點E'，F'，P'的坐標，即可得出結論．

（1）∵雙曲線y＝過M、N、P三點，

∴M（﹣4，﹣），N（﹣2，﹣），P（﹣1，﹣k），

∴MN2＝[（﹣4﹣（﹣2）]2+[（﹣）﹣（﹣）]2＝4+，NP2＝1+，

∵MN＝NP，

∴MN2＝NP2，

∴4+＝1+，

∴k＝﹣4或k＝4（由于點P在第二象限，不符合題意，舍去），

∴雙曲線的解析式為y＝﹣；

（2）由（1）知，雙曲線的解析式為y＝﹣①，

由（1）知，k＝﹣4，

∴P（﹣1，4），

如圖1，過點P作PQ⊥y軸于Q，則PQ＝1，

Ⅰ、當點A在x軸正半軸時，

∵PA＝4AB，

∴PB＝3AB，

∵PQ⊥y軸，OA⊥y軸，

∴OA∥PQ，

∴△AOB∽∠PQB，

∴，

∴＝，

∴OA＝，

∴A（，0），

∵P（﹣1，4），

∴直線PA的解析式為y＝﹣3x+1②，

聯立①②解得，或，

∴Q（，﹣3），

Ⅱ、當點A在x軸負半軸上，

∵PA'＝A'B'，

∴PB'＝5A'B'，

同（Ⅰ）的方法得，△A'OB'∽△PQB'，

∴，

∴，

∴OA'＝，

∴A'（﹣，0），

∴直線PA'的解析式為y＝﹣5x﹣1③，

聯立①③解得，或，

∴Q（，﹣5）；

（3）如圖2，由（1）知，k＝﹣4，

∴P（﹣1，4），N（﹣2，2），

∵四邊形PNEF是正方形，

∴EN＝PN，∠PNE＝90°，

過點N作y軸的平行線交過點P作x軸的平行線于G，過點E作EH⊥NG于H，

∴∠EHN＝∠NGP＝90°，

∴∠HEN+∠ENH＝90°，∠ENH+∠PNG＝90°，

∴∠HEN＝∠GNP，

∴△EHN≌△NGP（AAS），

∴NH＝PG＝|﹣2﹣（﹣1）|＝1，EH＝NG＝|4﹣2|＝2，

∴E（﹣4，3），

同理：F（﹣3，5），

記點N平移到x軸的N'位置，設N'（m，0），

∵N（﹣1，4），

∴點N向左平移（﹣2﹣m）個單位，再向下平移2個單位，

∴點P，E，F也向左平移（﹣2﹣m）個單位，再向下平移2個單位，得到點P'（m+1，2），E'（m﹣2，1），F'（m﹣1，3），

∴點P′、E'正好落在反比例函數y＝上，

∴b＝2（m+1）＝m﹣2，

∴m＝﹣4，

∴F'（﹣5，3），

即F對應點F′的坐標為（﹣5，3）．