Question

【題目】如圖，在中，，，，射線從與射線重合的位置開始，繞點按順時針方向旋轉，與射線重合時就停止旋轉，射線與線段相交于點，點是線段的中點．

（1）求線段的長；

（2）①當點與點、點不重合時，過點作于點，于點，連接，，在射線旋轉的過程中，的大小是否發生變化？若不變，求的度數；若變化，請說明理由．

②在①的條件下，連接，直接寫出面積的最小值____________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不變，∠EMF=90°，理由見解析；（3）

【解析】

（1）如下圖，設AN=x，在Rt△CAN中，利用勾股定理可求得x的值，然后再Rt△CNB中，可求得CB的長；

（2）①如下圖，△DEB和△DFB是直角三角形，點M是BD的中點，可得到EM=DM=MB=FM，利用角度轉化可得到∠FME=90°；

②可推導出，則只需要BD最小即可，即BD⊥AC時，△EMF的面積最小．

（1）如下圖，過點C作AB的垂線，交AB于點N

∵

∴設AN=x，則CN=3x

∵

∴在Rt△CAN中，

解得：x=1

∴CN=3，AB=AN+NB=4

∵∠ABC=45°

∴NB=CN=3

∴在Rt△CNB中，CB=3；

（2）①不變，∠EMF=90°

如下圖

∵DE⊥AB，DF⊥BC

∴△DEB和△DFB是直角三角形

∵點M是DB的中點

∴EM=DM=MB，FM=DM=MB

∴∠2=∠3，∠1=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8

∵∠ABC=45°

∴∠1+∠2=45°，∴∠3+∠4=45°

∵∠DEB=∠DFB=90°

∴∠5+∠8=180°－45°=135°

∴∠5+∠6+∠7+∠8=270°

∴在四邊形EMFD中，∠EMF=360°－270°=90°；

②如下圖

∵∠EFM=0°，EM=FM=DM=MB

∴

要使最小，則只需要BD最小即可

故BD⊥AC，圖形如下

∵

∴設AD=y，則DB=3y

∵AB=4

∴在Rt△ADB中，

解得：y=

∴BD=3y=

∴=．