Question

【題目】如圖，點A，B，C都在拋物線y＝ax2﹣2amx+am2﹣9（其中a＞0）上，AB∥x軸，點P是拋物線的頂點，tan∠PBA＝2，∠BAC＝45°．

（1）填空：拋物線的頂點P的坐標為　 （用含m的代數式表示）；

（2）求△ABC的面積（用含a的代數式表示）；

（3）若△ABC的面積為10，當2m﹣3≤x≤2m+5時，y的最小值為5，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）（m，﹣9）；（2）S△ABC＝；（3）m的值為﹣5﹣或3+．

【解析】

（1）用配方法寫出拋物線頂點式即求出頂點坐標；

（2）過P作AB的垂線PD，因為A、B具有對稱性故點D為AB中點，構造∠PDB=90°，則把tan∠PBA=2轉化為PD=2BD=AB．設AD=BD=n，進而用n表示A的坐標，再代入拋物線解析式，得到n與a的關系．過C作AB的垂線CE，構造等腰直角△ACE，設AE=CE=t，用t表示C的坐標并代入拋物線解析式，得到t與a的關系．最后直接AB與CE的積的一半即能用a表示△ABC的面積；

（3）利用△ABC面積求出a=1，拋物線開口向上，最小值為y=-9，故條件里提到的范圍2m-3≤x≤2m+5不包含有對稱軸x=m．分兩種情況：①若此范圍在對稱軸左側，即2m+5＜m，y隨x的增大而減小，所以x=2m+5時對應最小值；②若此范圍在對稱軸右側，即2m-3＞m，y隨x的增大而增大，x=2m-3對應最小值．把相應的x和y值代入拋物線解析式即求得m的值．

（1）∵y＝ax2﹣2amx+am2﹣9＝a（x﹣m）2﹣9，

∴頂點P的坐標為（m，﹣9），

故答案為：（m，﹣9）．

（2）過點P作PD⊥AB于點D，過點C作CE⊥AB于點E，

∵AB∥x軸，且點A、B在拋物線上，

∴PA＝PB，

∴AD＝BD

∵tan∠PBA＝＝2，

∴PD＝2BD＝AB，

設AD＝BD＝n（n＞0），則PD＝AB＝2n，

∴A（m﹣n，﹣9+2n），

把A的坐標代入拋物線解析式得：a（m﹣n﹣m）2﹣9＝﹣9+2n，

整理得：n＝，

∴AB＝，A（m﹣，﹣9+），

∵∠AEC＝90°，∠BAC＝45°，

∴AE＝CE，

設AE＝CE＝t（t＞0），則C（m﹣+t，﹣9++t），

把C的坐標代入拋物線解析式得：a（m﹣+t﹣m）2﹣9＝﹣9++t，

整理得：t＝，

∴CE＝，

∴S△ABC＝ABCE＝；

（3）∵S△ABC＝＝10，a＞0，

∴a＝1，

∴拋物線解析式為：y＝（x﹣m）2﹣9，

∴拋物線最小值y＝﹣9＜5，

∴當2m﹣3≤x≤2m+5時，不包含有對稱軸x＝m，

①若2m+5＜m，即m＜﹣5時，x＝2m+5對應最小值y＝5，

∴（2m+5﹣m）2﹣9＝5，

解得：m1＝﹣5+（舍去），m2＝﹣5﹣，

②若2m﹣3＞m，即m＞3時，x＝2m﹣3對應最小值y＝5，

∴（2m﹣3﹣m）2﹣9＝5，

解得：m1＝3+，m2＝3﹣（舍去），

綜上所述，m的值為﹣5﹣或3+．