Question

【題目】如圖，在正方形中，點是邊上的一點（不與、重合），點在的延長線上，且滿足，連接、，與邊交于點．

（1）求證：；

（2）如果，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由正方形的性質得出AB＝AD，∠CAD＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠B＝90°，然后根據等量代換得出∠BAM＝∠DAN，利用ASA可證△ABM≌△ADN，從而利用全等三角形的性質即可證明AM＝AN；

（2）根據正方形的性質和得出∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，從而有△AMC∽△AEN，則＝，又因為AN＝AM，所以有AN2＝AEAC．

解：證明（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠CAD＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠B＝90°，

∴∠BAM＋∠MAD＝90°，∠ADN＝90°

∵∠MAN＝90°，

∴∠MAD＋∠DAN＝90°，

∴∠BAM＝∠DAN，

且AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°

∴△ABM≌△ADN（ASA）

∴AM＝AN，

（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°，

∴∠MNA＝45°，

∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，

∴∠NAD＝22.5°

∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°

∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，

∴△AMC∽△AEN

∴＝，且AN＝AM，

∴AN2＝AEAC