Question

【題目】已知：如圖，在等邊中，，且交外角平分線于點.

（1）當點為中點時，試說明與的數量關系；

（2）當點不是中點時，試說明與的數量關系.

Answer 1

【答案】（1），見解析.（2），見解析.

【解析】

（1）AD=DE．由等邊三角形的性質和平行線的性質得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等邊三角形，再證明△AFD≌△DCE即可得到結論；
（2）AD=DE．由等邊三角形的性質和平行線的性質得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等邊三角形，再證明△AFD≌△DCE即可得到結論；

（1）結論：AD=DE，理由如下：
如圖: 過點D作DF∥AC，交AB于點F，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．
又∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠ACB=60°，
∴△BDF是等邊三角形，
∴DF=BD，∠BFD=60°，
∵BD=CD，
∴DF=CD
∴∠AFD=120°．
∵EC是外角的平分線，∴∠ACE=60°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°=∠AFD，
∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠EDC=30°，
在△AFD與△EDC中，
，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE；
（2）結論：AD=DE；理由如下：
如圖2，過點D作DF∥AC，交AB于點F，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°，
又∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠ACB=60°，
∴△BDF是等邊三角形，∴BF=BD，∠BFD=60°，
∴AF=CD，∠AFD=120°，
∵EC是外角的平分線，∴∠ACE=60°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°=∠AFD，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，
∴∠FAD=∠EDC，
在△AFD和△DCE中，
，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE.