Question

【題目】問題呈現：如圖1，點E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求證：2S四邊形EFGH=S矩形ABCD．（S表示面積）

實驗探究：某數學實驗小組發現：若圖1中AH≠BF，點G在CD上移動時，上述結論會發生變化，分別過點E、G作BC邊的平行線，再分別過點F、H作AB邊的平行線，四條平行線分別相交于點A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1．

如圖2，當AH＞BF時，若將點G向點C靠近（DG＞AE），經過探索，發現：2S四邊形EFGH=S矩形ABCD+．

如圖3，當AH＞BF時，若將點G向點D靠近（DG＜AE），請探索S四邊形EFGH、S矩形ABCD與之間的數量關系，并說明理由．

遷移應用：

請直接應用“實驗探究”中發現的結論解答下列問題：

如圖4，點E、F、G、H分別是面積為25的正方形ABCD各邊上的點，已知AH＞BF，AE＞DG，S四邊形EFGH=11，HF=，求EG的長．

Answer 1

【答案】問題呈現：證明見解析；實驗探究：結論：2S四邊形EFGH=S矩形ABCD﹣；（3）.

【解析】試題分析：只要說明S△HGE=S矩形AEGD，同理S△EGF=S矩形BEGC，由此可得S四邊形EFGH=S△HGE+S△EFG=S矩形ABCD；
實驗探究：結論：2S四邊形EFGH=S矩形ABCD-S矩形A1B1C1D1．根據S△EHC1=S矩形AEC1H，S△HGD1=S矩形HDGD1，S△EFB1=S矩形EBFB1，S△FGA1=S矩形CFA1G，即可證明；
遷移應用：利用探究的結論即可解決問題．

試題解析：

如圖中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，∠A=90°，

∵AE=DG，

∴四邊形AEGD是矩形，

∴S△HGE=S矩形AEGD，

同理S△EGF=S矩形BEGC，

∴S四邊形EFGH=S△HGE+S△EFG=S矩形ABCD．

故答案為：S四邊形EFGH=S矩形ABCD．

實驗探究：結論：2S四邊形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1．

理由：∵S△EHC1=S矩形AEC1H，S△HGD1=S矩形HDGD1，S△EFB1=S矩形EBFB1，S△FGA1=S矩形CFA1G，

∴S四邊形EFGH=S△EHC1+S△HGD1+S△EFB1+S△FGA1﹣S矩形A1B1C1D1，

∴2S四邊形EFGH=2S△EHC1+2S△HGD1+2S△EFB1+2S△FGA1﹣2S矩形A1B1C1D1，

∴2S四邊形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1．

故答案為：2S四邊形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1

遷移應用：解：（1）如圖中，

∵2S四邊形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形A1B1C1D1．

∴S矩形A1B1C1D1=25﹣2×9=7=A1B1A1D1，

∵正方形的面積為25，

∴邊長為5，

∵A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4，

∴A1D1=2，A1B1=，

∴EG2=A1B12+52= ，

∴EG=

故答案為：．