Question

閱讀下列材料：
如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，點M、N分別在邊AB、BC上，且MN∥AD，記AD=a，BC=b，若，則有結論：。

請根據以上結論，解答下列問題：

如圖2，3，BE、CF是△ABC的兩條角平分線，過EF上一點P分別作△ABC三邊的垂線段PP₁、PP₂、PP₃，交BC于點P₁，交AB于點P₂，交AC于點P₃。
（1）若點P為線段EF的中點，求證：PP₁=PP₂＋PP₃；
（2）若點P在線段EF上任意位置時，試探究PP₁、PP₂、PP₃的數量關系，給出證明。

Answer 1

解：（1）證明：如圖，過點E作ED₁⊥BC于D₁，ED₂⊥AB于D₂，

∵BE是∠ABC的角平分線，∴ED₁= ED₂。
∵點P為線段EF的中點，且PP₂⊥AB，
∴PP₂∥ED₂。∴。∴，即。
同理，過點F作FG₁⊥BC于G₁，FG₂⊥AC于G₂，得。
在梯形EFG₁D₁中，∵公式中，m=n，
∴（梯形中位線定理）。
∴。
（2）。證明如下：
如圖，過點E作ED₁⊥BC于D₁，ED₂⊥AB于D₂，過點F作FG₁⊥BC于G₁，FG₂⊥AC于G₂，

設，則梯形EFG₁D₁滿足公式，
∴。
公式中，當b=0時，原梯形變為三角形，
∴。
∴。
∴，。
將②③代入①，得。

（1）過點E作ED₁⊥BC于D₁，ED₂⊥AB于D₂，過點F作FG₁⊥BC于G₁，FG₂⊥AC于G₂，由角平分線上的點到角的兩邊距離相等，可得ED₁= ED₂，FG₁= FG₂。在△FED₂和△FEG₂中應用三角形中位線定理，可得，。在梯形EFG₁D₁中，由公式可證得結論。
（2）同（1）過點E作ED₁⊥BC于D₁，ED₂⊥AB于D₂，過點F作FG₁⊥BC于G₁，FG₂⊥AC于G₂，由角平分線上的點到角的兩邊距離相等，可得ED₁= ED₂，FG₁= FG₂。在△FED₂、△FEG₂和梯形EFG₁D₁中，由公式可求得結論。