Question

如圖（1），在平面直角坐標系中，AB⊥x軸于B，AC⊥y軸于C，點C（0，m），A（n，m），且（m-4）²+n²-8n＝-16，過C點作∠ECF分別交線段AB、OB于E、F兩點.

（1）求A點的坐標（3分）；
（2）若OF+BE＝AB，求證：CF＝CE（4分）
（3）如圖（2），若∠ECF＝45°，給出兩個結論：?OF+AE-EF的值不變；?OF+AE+EF的值不變，其中有且只有一個結論正確，請你判斷出正確的結論，并加以證明和求出其值（5分）.

Answer 1

（1）（4，4）；（2）證明見解析；（3）OF+AE-EF值不變，且OF+AE-EF=0.

試題分析：（1）可將（m-4）²+n²-8n＝-16，通過移項、因式分解變形為：（m-4）²+（n-4）²=0.結合圖象可知m、n都大于0，由此可得m=n=4.
（2）因為OF+BE＝AB，所以OF＝AE，由（1）易得四邊形COAB是正方形；所以由SAS得△ACE≌△OCF，從而可證CF＝CE.
（3）因為AC=OC，可想到繞點C將△ACE順時針旋轉90^0,到△OCH位置，如圖，可證△HCF≌△ECF得HF=EF，而HF=AE+OF，所以OF+AE-EF=0.
試題解析：
解：（1）∵（m-4）²+n²-8n＝-16，
∴（m-4）²+（n-4）²=0.
∴m＝4，n＝4.
證明：∵AB⊥x軸，AC⊥y軸，A（4，4），
∴AB＝AC＝OC＝OB，
∠ACO＝∠COB＝∠ABO＝90°，
∴四邊形COAB是正方形
∴∠A＝90°
∵OF+BE＝AB＝BE+AE
∴AE＝OF，
∴△COF≌△CAE
∴CF＝CE.
（3）OF+AE-EF值不變，且OF+AE-EF=0.如圖，
證明：在x軸負半軸上取點H，使OH＝AE，
∵CO=CA ∠COH=∠CAE
∴△ACE≌△OCH
∴∠1＝∠2
CH＝CE，AE=OH
又∵∠EOF＝45°
∴∠HCF＝45°
∴△HCF≌△ECF
∴HF＝EF
∴OF+AE=OF+OH=HF=EF
即OF+AE-EF=0.